由英文標題來破題，需要了解甚麼是Window視窗？甚麼是decay signal衰減型信號？甚麼是FFT？又在進行FFT時，也就是頻譜分析時，採用不同的Window，對得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum)，會有甚麼影響？希望在這個單元可以獲得解答。
首先，FFT就是快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算，係將時間域的信號，轉換到頻率域，得到此信號的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)，所以可稱為頻譜分析(spectral analysis)。先前有關FFT的相關單元：【甚麼是頻譜分析？】、【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】、【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】、【甚麼是假象(aliasing)？】，有興趣讀者可以先複習一下。
其次，甚麼是Window視窗呢？如何與FFT搭配應用？有哪些Window呢？實際上，Window也可以稱為weighting function加權函數，數學上，常以w(t)代表視窗加權函數。
如果，對一個原始的量測信號p(t)，在進行FFT之前，會將p(t)與w(t)做對應時間的加權相乘，取得加權處理後的時間序列p’(t) =p(t)‧w(t)，再進行FFT。注意：p’(t) =p(t)‧w(t)此相乘方式，是對應時間點的相乘。
Window 視窗加權函數，詳細的解說，將另闢單元探討，本單元將介紹4種，僅列出其名稱及簡要的說明如下：
1.
Boxcar：也可稱為Rectangle，矩形視窗加權函數，理念上，w(t)=1，所以，p’(t)=p(t)，相當於沒有任何的加權效應。矩形視窗適用在沒有洩漏(leakage)的信號。可參考先前單元：【甚麼是洩漏(leakage)？】
2.
Hanning：漢寧視窗加權函數，w(t)呈現一半個正弦波信號，w(t)在起始及終止時間，w(t)=0。漢寧視窗適用在隨機型信號。
3.
Exponential：指數視窗加權函數，w(t)是一個指數函數。w(t)在起始時間，w(t)=1；在終止時間，常設定兩種：w(t)=0.1、或0.01，也就p(t)經指數加權處理後，在終止時間，原始信號p(t)量值，會加權僅有原始的量值的10%、或1%。指數視窗適用在衰減型信號。
甚麼是decay
signal衰減型信號呢？如圖示就是4個衰減信號所組成的聲音信號p(t)，本單元只針對p(t)第1個衰減信號，進行FFT頻譜分析，取得聲音傅立葉頻譜P(f)。
要對一個信號p(t)進行FFT頻譜分析，取得其傅立葉頻譜P(f)，參考步驟如下：
1.
量測信號p(t)的取樣頻率：要注意量測此p(t)信號的取樣頻率(sampling frequency)，本案例fs=44100Hz。可參考先前單元：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。
2.
進行頻譜分析FFT參數設定：配合SM聲音量測軟體的應用分析，可參考網址：【http://aitanvh.blogspot.com/2017/10/sm.html】。需要設定：開始時間t1=1.76sec，取樣點數Nt=44100。
3.
觀察FFT相關參數：如圖示顯示的FFT相關參數，包括：每個區間的時間(time frame)T=1 sec，終止時間t2=2.76秒，有效解析頻率fnyq=22050Hz，頻率解析度df=1Hz。原理仍要參閱先前單元：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。
4.
選擇視窗加權函數w(t)：本案例探討了Boxcar、Hanning、Exponential 0.1、Exponential 0.01等4種視窗加權函數，進行FFT頻譜分析後，所得到的傅立葉頻譜P(f)差異的探討。
5.
觀察得到的傅立葉頻譜P(f)特性：因為，傅立葉頻譜P(f)是複數(complex number)，通常有興趣的振幅值(magnitude, amplitude)，數學符號表示為|P(f)|。
參考圖示右側為選用4種視窗加權函數，所分別得到的傅立葉頻譜|P(f)|，討論如下：
1.
Boxcar Window：在頻譜圖中，發現有柵欄效應(fence effect)，這是因為進行FFT的time frame時間區間，p(t)在終止時間，還沒有降到0，信號有被截斷 (truncation)的現象，造成頻譜圖有不正常的柵欄效應。
2.
Hanning Window：在整體頻譜圖可發現，有許多毛躁的小峰值，這樣的頻譜圖，會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。
3.
Exponential 0.1：相較於Boxcar或Hanning Window，此頻譜圖可解析的判讀性好了許多，不過，在500Hz以上，仍然有毛躁小峰值現象。
4.
Exponential 0.01：可以觀察此頻譜圖是最清楚，可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此，可以說對此衰減型信號，以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後，進行FFT，所得到頻譜是最好的，因為可以明確判讀主要的峰值頻率，也就是此衰減型信號的頻率特徵。
綜合來說，當我們對一個時間域信號，要進行FFT頻譜分析，主要目的就是要了解該信號的頻率特徵，特別是能有效觀察到所有的峰值頻率。
以本案例所探討的衰減型信號，採用不同的視窗加權函數處理後，進行FFT頻譜分析，所得到的傅立葉頻譜，在判讀性、可解析性來看，當然，Exponential 0.01視窗加權函數，對衰減型信號的FFT頻譜分析，是較佳的選項。
本單元以一個衰減型信號，說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異，希望讀者可以體會選擇適當的視窗加權函數之重要性，方可取得較好的傅立葉頻譜圖，才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.08.04
