這個單元要來看的主題是：為甚麼「簡諧激振」(harmonic excitation)，會有「簡諧響應」(harmonic response)？仍然是以如圖示的「外力激振」(force excitation)的「單自由度系統」(single degree-of-freedom, SDOF, system)，來解釋這個現象。
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
接下來，就來探討「SDOF單自由度系統」受到「簡諧外力激振」的響應，如右上方圖示的正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，就是一種「簡諧函數」(harmonic function)，所以就稱為「簡諧激振」。
解析一下正弦函數的「簡諧外力」𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝑭 就是「簡諧外力振幅」(harmonic force amplitude)，而 𝒇
就是此「簡諧外力」的「激振頻率」(excitation frequency)。
當「SDOF單自由度系統」受到正弦函數的「簡諧外力激振」，參閱中間的動畫，以及𝒙(𝒕)示意圖，可以觀察到：在初期，𝒙(𝒕)會有漂移運動的不穩定現象，主要來自兩個「初始條件」的效應。而長時間後，𝒙(𝒕)呈現穩定的現象，為典型的「簡諧函數」特徵，主要來自「簡諧外力激振」的效應。
針對質塊的響應𝒙(𝒕)示意圖，可以解剖出兩個效應：𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)，其中，
1. 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)：自由振動響應，來自兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用。在時間初期，由於「初始位移」以及「初始速度」，使得質塊會有明顯的漂移運動，一段時間後，因為有阻尼的衰減效應，此自由振動響應會消失。
2. 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：外力激振響應，係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用，其中，IRF係指「脈衝響應函數」(impulse response function, IRF)，其解析理念，再另闢單元討論。在此，當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應，會持續的存在。
參閱右下方圖示的質塊響應𝒙(𝒕)，是以0
< 𝝃 < 1，「次阻尼」狀態的模擬結果，說明如下：
1.
𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)：是自由振動響應，呈現「指數衰減」(exponential decay)現象，𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)響應方程式，如圖示，有「指數衰減」項，和𝝃
ωn相關，因為是「次阻尼」，所以，會呈現來回振盪的衰減，長時間後，會衰減趨近於0。因此，也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「暫態響應」(transient state response)。
2.
𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：是外力激振響應，係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用，可透過如圖示的「旋捲積分」(convolution integral)方程式求得，其中，𝒉(𝒕)是「脈衝響應函數」(impulse response function, IRF)，可以觀察到 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)響應，在初期也會有「暫態」過程，長時間後，會呈現出典型的「簡諧函數」特徵，所以稱為「簡諧響應」。而此「簡諧響應」的頻率，就是「簡諧外力」的「激振頻率」。由於是穩定的「簡諧響應」，所以，可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「穩態響應」(steady state response)的區間。
綜合一下這個單元的討論重點，為甚麼「簡諧激振」(harmonic excitation)，會有「簡諧響應」(harmonic response)？總結如下：
1. 以「SDOF單自由度系統」受到「簡諧外力激振」做討論，此「簡諧外力」就是個「簡諧函數」，例如：𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。
2. 「SDOF單自由度系統」受到「簡諧外力激振」時，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 是自由振動響應，𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 是外力激振響應。
3. 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 是自由振動響應，主要來自兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用。
4. 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 是外力激振響應，主要來自「簡諧外力」的效應，可以透過𝐈𝐑𝐅「脈衝響應函數」進行解析。
5. 在初始期間，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，因為有𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)自由振動響應的效應，以及𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)外力激振響應的「暫態」過程，可以區別出來，質塊響應𝒙(𝒕)會有「暫態響應」(transient state response)的區間。
6. 在長時間後，會呈現出典型的「簡諧函數」特徵，可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「穩態響應」(steady state response)的區間。
7. 此「穩態響應」，也會是「簡諧響應」，而此「簡諧響應」的頻率，就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
由以上探討可以推論，不論是SDOF、MDOF或任意結構系統，當系統受到「簡諧激振」，在長時間之後，「暫態響應」會消失，只留下「穩態響應」。所以，當系統受到「簡諧激振」時，系統就會有穩定的「簡諧響應」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.04.02
