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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?

 

這個單元要來看的主題是:為甚麼簡諧激振(harmonic excitation),會有簡諧響應(harmonic response)?仍然是以如圖示的「外力激振(force excitation)的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system),來解釋這個現象。

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考左下方的圖示,就是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

接下來,就來探討「SDOF單自由度系統」受到簡諧外力激振」的響應,如右上方圖示的正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),就是一種簡諧函數(harmonic function),所以就稱為簡諧激振」。

 

解析一下正弦函數的簡諧外力𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝑭 就是簡諧外力振幅(harmonic force amplitude),而 𝒇 就是此「簡諧外力」的「激振頻率(excitation frequency)

 

當「SDOF單自由度系統」受到正弦函數的簡諧外力激振」,參閱中間的動畫,以及𝒙(𝒕)示意圖,可以觀察到:在初期,𝒙(𝒕)會有漂移運動的不穩定現象,主要來自兩個「初始條件」的效應。而長時間後,𝒙(𝒕)呈現穩定的現象,為典型的「簡諧函數」特徵,主要來自「簡諧外力激振」的效應。

 

針對質塊的響應𝒙(𝒕)示意圖,可以解剖出兩個效應:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕),其中,

 

1.      𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):自由振動響應,來自兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移X0及「初始速度V0的作用。在時間初期,由於「初始位移」以及「初始速度」,使得質塊會有明顯的漂移運動,一段時間後,因為有阻尼的衰減效應,此自由振動響應會消失。

2.      𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):外力激振響應,係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用,其中,IRF係指「脈衝響應函數(impulse response function, IRF),其解析理念,再另闢單元討論。在此,當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應,會持續的存在。

 

參閱右下方圖示的質塊響應𝒙(𝒕),是以0 < 𝝃 < 1次阻尼狀態的模擬結果,說明如下:

 

1.          𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):是自由振動響應,呈現指數衰減(exponential decay)現象,𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)響應方程式,如圖示,有「指數衰減」項,和𝝃 ωn相關,因為是「次阻尼」,所以,會呈現來回振盪的衰減,長時間後,會衰減趨近於0。因此,也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response)

2.          𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):是外力激振響應,係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用,可透過如圖示的「旋捲積分(convolution integral)方程式求得,其中,𝒉(𝒕)是「脈衝響應函數(impulse response function, IRF),可以觀察到 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)響應,在初期也會有「暫態」過程,長時間後,會呈現出典型的「簡諧函數」特徵,所以稱為「簡諧響應」。而此「簡諧響應」的頻率,就是「簡諧外力」的「激振頻率。由於是穩定的簡諧響應」,所以,可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有穩態響應(steady state response)的區間。

 

綜合一下這個單元的討論重點,為甚麼簡諧激振(harmonic excitation),會有簡諧響應(harmonic response)?總結如下:

 

1.      以「SDOF單自由度系統」受到簡諧外力激振」做討論,此「簡諧外力」就是個「簡諧函數」,例如:𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)

2.      SDOF單自由度系統」受到簡諧外力激振」時,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 是自由振動響應,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 是外力激振響應。

3.      𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 是自由振動響應,主要來自兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移X0及「初始速度V0的作用。

4.      𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 是外力激振響應,主要來自簡諧外力」的效應,可以透過𝐈𝐑𝐅脈衝響應函數」進行解析。

5.      在初始期間,質塊的位移響應𝒙(𝒕)因為有𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)自由振動響應的效應,以及𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)外力激振響應的暫態」過程,可以區別出來,質塊響應𝒙(𝒕)會有暫態響應(transient state response)的區間。

6.      長時間後,會呈現出典型的「簡諧函數」特徵,可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有穩態響應(steady state response)的區間。

7.      此「穩態響應」,也會是「簡諧響應」,而此「簡諧響應」的頻率,就是「簡諧外力」的「激振頻率

 

由以上探討可以推論,不論是SDOFMDOF或任意結構系統,當系統受到簡諧激振」,在長時間之後,「暫態響應」會消失,只留下「穩態響應」。所以,當系統受到簡諧激振」時,系統就會有穩定的簡諧響應」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.04.02

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