這個單元要來探討的主題是：「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)
SDOF系統之暫態響應分析，可以得到甚麼結果？這是「庫倫阻尼」系列的第4篇。
首先，針對這個單元主題的關鍵詞，依序說明：
1. 「庫倫阻尼」(Coulomb Damping) SDOF系統：參閱圖示左下方的系統示意圖，可知系統參數包括：𝒎=質量 (kg)，𝒄=黏滯阻尼係數 (N /
m/s)，𝒌=彈簧常數 (N/m)，𝝁=摩擦係數。
2. 「暫態響應分析」(Transient Response Analysis)：主要目的就是要分析取得質塊的時間波形響應，以及各種外力的時間波形響應。
為了要求解「暫態響應分析」，必須推導得到「庫倫阻尼」SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)，其通式如下：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)，和一般的「黏滯阻尼」的SDOF系統之差異，主要是多了「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)，參閱圖示的EOM，說明如下：
1.
當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= −𝝁𝒎𝒈。
2.
當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈。
3.
當速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 0。
由於運動方程式EOM是二階的常微分方程式，所以，需要兩個「初始條件」(initial condition, IC)，分別是「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以𝒙、𝒗、𝒂，代表位移、速度、加速度。】
得到了系統的運動方程式EOM，對系統進行「模態分析」(modal analysis)，可以求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1. 𝒇𝒏=𝟏/𝟐𝝅 √(𝒌/𝒎)：「自然頻率」(natural frequency)，單位為 Hz。
2. 𝝎𝒏=𝟐𝝅𝒇𝒏：也是「自然頻率」(natural frequency)，但是，單位為 rad/sec。
3. 𝝎𝒅=𝝎𝒏
√(𝟏−𝝃^𝟐 )：稱為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，單位為 rad/sec。
4. 𝝃=𝒄/C𝒄：為「阻尼比」(damping ratio)，無因次單位。其中，C𝒄=2*(mk)^0.5=2mωn為「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，單位為 N-s/m。
以上資訊，讀者可參考先前單元：#151，【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】。
進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應，有興趣的輸出參數，包括：
1. 質塊的時間波形響應：如位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)。
2. 相關的外力時間波形響應：如
𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒎(𝒕)+𝑭𝒄(𝒕)+𝑭𝒌(𝒕)，分別是「慣性力」(inertial force) 𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂(𝒕)，「阻尼力」(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕)，「彈簧力」(spring force) 𝑭𝒌(𝒕)=
𝒌 𝒙(𝒕)，而𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)是3種系統力的合成。另外，「外力」(external force)
𝒇(𝒕)和「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)，都是有興趣的分析結果。同時，由EOM可以知道， 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。
接下來，以實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒄=0 (N-s/m)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，而 𝝁=𝟎.2，所以是自由振動狀態。進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應，針對質塊的時間波形響應：如位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)，參閱圖示，其特徵說明如下：
1. 位移𝒙(𝒕)：位移時間波形呈現振盪波動的衰減現象，其衰減率，以每半個波會下降2𝝁𝑵/𝒌，呈現「直線衰減」的現象。所以每一個波動會下降4𝝁𝑵/𝒌
的衰減量。因為有「庫倫摩擦」效應，最終，質塊會停留在略微偏移零點的位置。
2. 速度 𝒗(𝒕)：速度𝒗(𝒕)和位移𝒙(𝒕)，會有90度的相位角差異，也是有持續的振盪與衰減現象。
3. 加速度 𝒂(𝒕)：加速度𝒂(𝒕)和位移𝒙(𝒕)，則是有180度的相位角差異，也是有持續的振盪與衰減現象。比較特殊的是在最大和最小波峰處，會有突波(jump)效應，主要是來自摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的影響。
除了質塊的時間波形響應外，也可以解析得到各種外力的時間波形響應，參閱圖示，其特徵說明如下：
1. 「彈簧力」(spring force) 𝑭𝒌(𝒕)=
𝒌 𝒙(𝒕)：因為𝒌是常數，所以「彈簧力」𝑭𝒌(𝒕)和位移𝒙(𝒕)的特徵相同，只有彈簧常數𝒌的倍數差。
2. 「阻尼力」(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕)：在本案例，𝒄=0 (N-s/m)，所以「阻尼力」𝑭𝒄(𝒕)=0。
3. 「慣性力」(inertial force) 𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂(𝒕)：因為𝒎是常數，所以「慣性力」𝑭𝒎(𝒕)和加速度 𝒂(𝒕)的特徵相同，只有質量𝒎的倍數差。
4. 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒎(𝒕)+𝑭𝒄(𝒕)+𝑭𝒌(𝒕)：𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)是「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」的合成力，其時間波形特徵和「摩擦力」𝑭𝒔(𝒕)完全相同。
5. 「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕)：由EOM可以知道， 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。在本案例，沒有外力作用𝒇(𝒕)=0，所以，𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒔(𝒕)。值得注意的是，在質塊靜止的位置，仍有微小的「摩擦力」，如圖示，𝑭𝒔(𝒕=5)=0.01761
(N)。
另外，再看一下摩擦力𝑭𝒔(𝒕)與速度𝒗(𝒕)的關係，參閱圖示，有標示了
+ 和 − ，確實是當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= −𝝁𝒎𝒈為負值，當速度為負值
𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈為正值，而速度為零
𝒗 =𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 0。
由於摩擦力𝑭𝒔(𝒕)與速度𝒗(𝒕)呈現正負相反的關係，摩擦力𝑭𝒔(𝒕)又與「摩擦係數」𝝁成正比，所以，會有抑制振動的「庫倫阻尼」衰減效應。因此，「摩擦係數」𝝁逐漸增大，質塊振盪的衰減效應越快。
其次，在加速度 𝒂(𝒕)的時間波形，有突波(jump)效應，可以發現都是出現在速度 𝒗(𝒕)的正負值交錯區間，同時也是摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的負正交錯區間，進而形成了此突波(jump)效應。
最後，綜合一下這個單元的討論重點：
1. 瞭解了「庫倫阻尼」(Coulomb Damping) SDOF系統：系統參數包括：𝒎=質量 (kg)，𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)，𝒌=彈簧常數 (N/m)，𝝁=摩擦係數。
2. 推導得到「庫倫阻尼」SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：通式如下：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。
3. 瞭解了「暫態響應分析」(Transient Response Analysis)：主要目的就是要分析取得系統的時間域響應。
4. 探討了質塊的時間波形響應特徵：如位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)。
5. 也探討了系統的各種外力之時間波形響應特徵：如𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒎(𝒕)+𝑭𝒄(𝒕)+𝑭𝒌(𝒕) = 𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
