這個單元要來探討的主題是：如何進行EMA與其量測數據之信號處理？
首先，針對主題中的關鍵詞(keyword)作分析：
1. EMA：Experimental Modal Analysis「實驗模態分析」，也可稱為「模態測試」(Modal Testing)。為什麼要執行EMA？完成EMA可以得到甚麼？如何進行EMA？
2. 進行EMA量測到的「數據」(data)有哪些？
3. 針對量測到的「數據」，如何進行「信號處理」(Signal processing)？
以上就是這個單元要來討論解答的關鍵詞提問重點。
參閱左上方的「EMA實驗架構」示意圖，針對一個響鈴板結構在自由邊界(free boundary)下，要求得結構的「模態參數」(modal parameter)，簡要的EMA實驗步驟說明如下：
1. 響鈴板(ring bell)結構：以懸吊方式，模擬自由邊界狀態。
2. 衝擊錘(impact hammer)：採用具有力感測器(force sensor)的衝擊錘，敲擊響鈴板結構。
3. 加速規(accelerometer)：採用單軸向加速規，量測響鈴板的側向振動之加速度。
4. 訊號擷取卡(data acquisition
device)：連接力感測器與加速規，可將感測器的類比信號(analog signal)，轉換為數位信號(digital signal)。
5. 筆記型電腦安裝量測軟體：採用振動噪音實驗室開發的SVM (Sound and Vibration Measurement)【http://aitanvh.blogspot.com/2015/03/blog-post_31.html】，取得量測到的「數據」，包括：敲擊外力𝒇𝒋 (𝒕)與加速度響應𝒂𝒊(𝒕)的時間波形，並進行對應的「信號處理」。
接著，參閱圖示上方的「S → P → R方塊圖」，分別是Source、Path、Response，其中，Source就是採用衝擊錘敲擊，可以量測到力的時間波形𝒇𝒋 (𝒕)。Response就是採用加速規，可以量測到加速度響應的時間波形𝒂𝒊(𝒕)。而，Path就是響鈴板的結構路徑(Structure Path)。
其次，參閱圖示右上的「響鈴板EMA之佈點規畫」示意圖，採用了「移錘定規」的實驗量測方式，加速規固定在 𝒊=𝟏𝟗，而移動衝擊錘作用點在 𝒋，需要敲擊所有的布點，以下的信號處理，以 𝒋=𝟐𝟗為例作說明。
瞭解了EMA的實驗架構與實驗量測方式，首先，觀察「物理域系統方塊圖」，量測的「原始數據」(raw data)，分別是𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，圖示兩側分別呈現兩者典型的時間波形，𝒇𝒋 (𝒕)是一個衝擊波，若放大來看是個三角波，而𝒂𝒊(𝒕)是具有衰減現象的隨機信號(random signal)。
若是進行有限元素分析(finite element
analysis, FEA)，就可得到如多自由度系統的運動方程式：[𝑴]{𝒙 ̈ }+[𝑪]{𝒙 ̇ }+[𝑲]{𝒙}= {𝒇(𝒕)}，其中，系統參數為[𝑴]、[𝑪]、[𝑲]。量測的「原始數據」𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，對應的就是外力向量{𝒇(𝒕)}以及加速度向量{𝒙 ̈ }，在第𝒋個位置的外力𝒇𝒋 (𝒕)以及在第𝒊個位置的加速度𝒂𝒊(𝒕)。
量測到了「原始數據」𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，就要進行「信號處理」(Signal processing)，主要在執行FFT (fast Fourier transform)「快速傅立葉轉換」，可以取得𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)，分別是敲擊外力以及加速度的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)。參閱圖示的「頻率域系統方塊圖–理論分析」，兩側的圖示，標示，|𝑭𝒋 (𝒇)| 以及|𝑨𝒊 (𝒇)|，分別是𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)的振幅(Amplitude)。
如果是振動理論分析，𝑯𝒊𝒋 (𝒇)是頻率響應函數(frequency response function, FRF)，可以由𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)求得：𝑯𝒊𝒋 (𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。但是，在此執行EMA，是實驗量測，無法直接由𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)取得，因為是FFT分析的影響，必須由「功率頻譜密度函數」 (power
spectral density (PSD) function)的PSD分析求得，如後討論說明。
執行EMA的量測實務上，要取得𝑯𝒊𝒋 (𝒇)頻率響應函數，必須取得PSD「功率頻譜密度函數」，簡稱「功率頻譜」(power spectrum,
PSD)，可參閱圖示的「頻率域系統方塊圖–實驗分析」，兩側的圖示，標示為𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)，分別是𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)的「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)。
由實驗分析，要取得𝑯𝒊𝒋 (𝒇)頻率響應函數，其分析方式是：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊(𝒇)
/ 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)。其中，𝑮𝒋𝒊(𝒇)是𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)的「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)。
要注意的是，𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)是「傅立葉頻譜」、是複數(complex number)，無法執行平均處理(averaging)。不過，𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)或是𝑮𝒋𝒊(𝒇)，都是「功率頻譜」，就可以執行平均處理，一般進行EMA，會取敲擊3次的平均處理，將另闢單元，再討論其原因與理由。
由於𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)「功率頻譜」，經過3次的平均處理，可以對比𝑮𝒋𝒋 (𝒇)和𝑭𝒋 (𝒇)，以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)和𝑨𝒊 (𝒇)，「功率頻譜」曲線相較於「傅立葉頻譜」平滑許多，消除了雜訊(noise)。
參閱圖示左下方的「信號處理流程圖」，做了很多的處理，將另闢單元討論，在此，簡要的說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)：是量測的「原始數據」(raw data)，分別是敲擊外力以及加速度響應的時間波形。
2. 𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)：是透過FFT分析，取得的「傅立葉頻譜」。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇) 或是𝑮𝒋𝒊(𝒇)
以及𝑮𝒊𝒋 (𝒇)：是透過PSD分析，取得的「自身功率頻譜」或是「交叉功率頻譜」。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：是FRF頻率響應函數，實驗量測必須由PSD「功率頻譜」取得，而理論分析可由「傅立葉頻譜」直接取得，也可直觀的瞭解FRF之物理意義。
為什麼要執行EMA？完成EMA可以得到甚麼？如何進行EMA？簡要說明如下：
1. 為什麼要執行EMA？：想要求得結構的「模態參數」(modal parameter)。
2. 完成EMA可以得到甚麼？：結構的「模態參數」，包括：𝒇𝒓 「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
3. 如何進行EMA？：主要有兩個步驟：(1) 量測得到結構的𝑯𝒊𝒋(𝒇)頻率響應函數，(2) 進行曲線嵌合(curve fitting)，取得結構的「模態參數」，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。參閱圖示右下方，呈現這個響鈴板結構的前三個「模態」(mode)的「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 如何進行EMA？：需要規劃適當的EMA實驗架構，以及EMA之佈點規畫。主要有兩個步驟：(1) 量測得到結構的𝑯𝒊𝒋 (𝒇)頻率響應函數，(2) 進行曲線嵌合(curve fitting)，取得結構的「模態參數」，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
2. 進行EMA量測到的「數據」(data)有哪些？：量測的「原始數據」(raw data)，分別是𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，分別是敲擊外力以及加速度響應的時間波形(time waveform)。
3. 針對量測到的「數據」，如何進行「信號處理」(Signal processing)？：(1) 透過透過FFT分析，取得「傅立葉頻譜」。(2) 透過PSD分析，取得「自身功率頻譜」或是「交叉功率頻譜」。(3) 透過FRF分析，取得FRF頻率響應函數。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
