表達振動的物理量是位移、速度、加速度，這三者之間的關係呢？當我們量測到位移響應，可以得到速度及加速度嗎？又，如果量測到的是加速度響應，可以推算速度、位移嗎？本單元將以單一頻率的簡諧波，說明位移、速度、加速度之關係。
讀過物理學都知道，位移、速度、加速度三者是微分積分的轉換，由微分、積分的理論運算，若知道位移、速度、加速度三者之一，都是可以交互轉換求得另外兩個物理量。
如果，當我們量測到了位移，以x(t)來代表的話，就x(t)對t 一次微分，就可以得到速度v(t)。就v(t)對t再一次微分，就可以得到加速度a(t)。由位移做一次微分、或二次微分，在理論上以及實務上，已知位移x(t)，是能夠合理順利取得速度v(t)或加速度a(t)。
反之，如果量測到了加速度a(t)，理論上，可以就a(t)對t做積分，就可得到速度v(t)；就v(t)對t做積分，又可到位移x(t)。在此，須注意這是數學理論上的做法，但是，實務上並不是簡單的積分可以求得，因為有積分常數的未知數，需要初始條件的假設，因此，實務上要由加速度求得速度及位移，是有難度的，此現象及處理方式，我們在另外的單元再探討。
如圖示，考慮單一頻率的餘弦波為位移函數x(t)
=Xcos(ωt-ϕ)，對x(t)做一次微分及二次微分，可分別得到速度函數v(t)= -ωXsin(ωt-ϕ)= -Vsin(ωt-ϕ)，以及加速度函數a(t)= -ωVcos(ωt-ϕ)=-A cos(ωt-ϕ)。整理如下：
1.位移函數：x(t) =Xcos(ωt-ϕ)
2.速度函數：v(t)= -ωXsin(ωt-ϕ)= -Vsin(ωt-ϕ)= Vcos(ωt-ϕ-π/2)
3.加速度函數：a(t)= -ωVcos(ωt-ϕ)=-A cos(ωt-ϕ)= A cos(ωt-ϕ-π)
由以上的數學式，綜合觀察的現象如下：
1. 振動量的大小，主要看位移振幅X、或速度振幅V= Xω、或加速度振幅A= Vω=Xω^2，三個物理量的振幅關係：V= Xω、A =Xω^2，是重要的關係式。
2. 再觀察三個物理量的相位角關係，都以轉換為cosine函數來對比，可以發現v(t)與x(t)差了π/2相位角，而a(t)與x(t)差了π相位角，以角度來看，剛好是90度與180度。
3. 又以x軸為圓周頻率ω來看，如圖示右方所示，位移振幅X為常數，呈現水平線；速度振幅V= Xω是頻率的一次方，呈現斜直線；加速度振幅A =Xω^2是頻率的二次方，呈現二次曲線。
4. 如圖示右方所示，可以大致看出，在低頻率區，位移振幅X最大；在中頻率區，速度振幅最大；在高頻率區，加速度振幅最大。
5. 因此，在一些機器振動允收規範，會界定低頻率區，以位移振幅為允收標準的依據；在中頻率區，以速度振幅為允收標準的依據；在高頻率區，以加速度振幅為允收標準的依據。
6. 中低頻率區域、以及中高頻率區域的區隔，稱為corner frequency，在此稱為頻率區間的拐角頻率，以ISO 10816-1為例，此corner frequency在中、低頻率區域的區隔為10Hz， 在中、高頻率區域的區隔為 200Hz。
本單元以介紹單一頻率的餘弦波，探討說明位移、速度、加速度三者之間的關係，以及相關重要特性，希望對讀者有所幫助。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2017.12.09
