10/12/20 ~ 振動噪音產學技術聯盟

這個單元的主題：FFT系列：兩個「簡諧波」合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。

「簡諧波」是指「單一頻率」(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」，或是有不同的「相位角」，都可泛稱為「簡諧波」(harmonic wave)。

參閱圖1，探討「不同頻率的餘弦波」之合成效應，首先，以”ISOC”「系統方塊圖」的理念，說明如下：

1. Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。

2. System 系統：就是所要發展的FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。

3. Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。

4. Control variables控制變數：由先前單元#179：【FFT系列：FFT參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】，常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。

在此，令Fmax = fnyq= 500 Hz，LOR = Nf = 500 lines。所以，「頻率解析度」 = fnyq/ Nf = 1 Hz，「取樣時間長度」T= 1⁄∆f = 1/1 = 1 sec。所以，FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式，就是要將時間域的信號 𝒙(𝒕)，進行FFT，取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」，𝑿(𝒇) 就是頻率域的信號。

圖1是兩個「不同頻率的餘弦波」的「頻譜分析」，其中，𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 10 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 1，𝒇2 = 50 Hz。兩個信號的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，如預期分別在頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，以及頻率 𝒇2 = 50 Hz，振幅 𝑿2 = 1。

當這兩個「簡諧波」合成在一起，可以觀察圖1右邊圖示：

1. 「時間波形」𝒙(𝒕)：係由兩個「簡諧波」的信號，疊加組合而成。

2. 「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)：也是分別有頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，以及頻率 𝒇2 = 50 Hz，振幅 𝑿2 = 1的現象。也是兩個獨立的「簡諧波」之「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，合成效應。

圖2是兩個「頻率相同，不同相位角」的「簡諧波」之「頻譜分析」，在此要先帶入「相位角」(phase angle)的概念。𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕 +𝝓𝟏)，其中，𝑿1 = 1，𝒇1 = 10 Hz，𝝓𝟏 = 0°，在此要注意在方程式中的相位角𝝓𝟏，要以徑度為單位，也就是rad。

由 𝒙1(𝒕) 的「頻譜分析」，可觀察「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，分別由「振幅」圖及「相位角」圖，可以確認在頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，相位角𝝓𝟏 = 0°。

接著，觀察 𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕 +𝝓2)，其中，𝑿2 = 1，𝒇2 = 10 Hz，𝝓2 = -90°，其中，振幅及頻率都相同，𝑿1 = 𝑿2 =1，𝒇1 = 𝒇2 = 10 Hz，只有相位角有差異，𝝓𝟏= 0°，𝝓2 = -90°，相差90度。實際上，𝒙2(𝒕)是個「正弦波」，𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐬in(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)。也就是「正弦波」和「餘弦波」有90度相位角差。

最後觀察，𝒙1(𝒕) 及 𝒙2(𝒕) 組合的 𝒙(𝒕)，其頻率仍然是 𝒇 = 10 Hz，振幅 𝑿 = 1.414，相位角𝝓= -45°。由此現象可知，兩個「頻率」相同，不同「相位角」的「簡諧波」相加，其合成信號的頻率，仍然相同。「振幅值」會因為有「相位角」差，而有相互抵銷的效應，合成的「振幅值」及「相位角」會不同於原始信號。