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《振動噪音科普專欄》FFT系列:兩個簡諧波合成,FFT頻譜分析有甚麼現象?


 這個單元的主題:FFT系列:兩個「簡諧波」合成,FFT頻譜分析有甚麼現象?其中,FFTfast Fourier transform快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析(spectral analysis)的數學方法,讀者可參閱#27:【甚麼是頻譜分析?】。

 

簡諧波」是指「單一頻率(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」,或是有不同的「相位角」,都可泛稱為「簡諧波(harmonic wave)

 

參閱1,探討「不同頻率的餘弦波」之合成效應,首先,以ISOC系統方塊圖」的理念,說明如下:

 

1.      Input 輸入𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)

2.      System 系統:就是所要發展的FFT快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。

3.      Output 輸出𝑿(𝒇) 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜(Fourier spectrum)

4.      Control variables控制變數:由先前單元#179:【FFT系列:FFT參數 Fmax LOR 對量測信號之影響?】,常用的「FFT分析參數」之設定有兩個:「有效頻率(effective frequency)fnyq = Fmax,以及「頻率解析條數(lines of resolution)Nf = LOR

 

在此,令Fmax = fnyq= 500 HzLOR = Nf = 500 lines。所以,「頻率解析度  = fnyq/ Nf = 1 Hz,「取樣時間長度T= 1⁄∆f = 1/1 = 1 sec。所以,FFT快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式,就是要將時間域的信號 𝒙(𝒕),進行FFT,取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」,𝑿(𝒇) 就是頻率域的信號。

 

1是兩個「不同頻率的餘弦波」的「頻譜分析」,其中,𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 1𝒇1 = 10 Hz𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)𝑿2 = 1𝒇2 = 50 Hz。兩個信號的「傅立業頻譜𝑿(𝒇),如預期分別在頻率 𝒇1 = 10 Hz,振幅 𝑿1 = 1,以及頻率 𝒇2 = 50 Hz,振幅 𝑿2 = 1

 

當這兩個「簡諧波」合成在一起,可以觀察1右邊圖示:

 

1.      時間波形𝒙(𝒕):係由兩個「簡諧波」的信號,疊加組合而成。

2.      傅立業頻譜𝑿(𝒇):也是分別有頻率 𝒇1 = 10 Hz,振幅 𝑿1 = 1,以及頻率 𝒇2 = 50 Hz,振幅 𝑿2 = 1的現象。也是兩個獨立的「簡諧波」之「傅立業頻譜𝑿(𝒇),合成效應。

 

2是兩個「頻率相同,不同相位角」的「簡諧波」之「頻譜分析」,在此要先帶入「相位角(phase angle)的概念。𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕 +𝝓𝟏),其中,𝑿1 = 1𝒇1 = 10 Hz𝝓𝟏 = 0°,在此要注意在方程式中的相位角𝝓𝟏,要以徑度為單位,也就是rad

 

𝒙1(𝒕) 的「頻譜分析」,可觀察「傅立業頻譜𝑿(𝒇),分別由「振幅」圖及「相位角」圖,可以確認在頻率 𝒇1 = 10 Hz,振幅 𝑿1 = 1,相位角𝝓𝟏 = 0°

接著,觀察 𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕 +𝝓2),其中,𝑿2 = 1𝒇2 = 10 Hz𝝓2 = -90°,其中,振幅及頻率都相同,𝑿1 = 𝑿2 =1𝒇1 = 𝒇2 = 10 Hz,只有相位角有差異,𝝓𝟏= 0°𝝓2 = -90°,相差90度。實際上,𝒙2(𝒕)是個「正弦波」,𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐬in(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)。也就是「正弦波」和「餘弦波」有90度相位角差。

 

最後觀察,𝒙1(𝒕) 𝒙2(𝒕) 組合的 𝒙(𝒕),其頻率仍然是 𝒇 = 10 Hz,振幅 𝑿 = 1.414,相位角𝝓= -45°。由此現象可知,兩個「頻率」相同,不同「相位角」的「簡諧波」相加,其合成信號的頻率,仍然相同。「振幅值」會因為有「相位角」差,而有相互抵銷的效應,合成的「振幅值」及「相位角」會不同於原始信號。

 

再參閱3也是兩個「頻率相同,不同相位角」的「簡諧波」之「頻譜分析」,兩種情形說明如下:

 

1.      兩個「簡諧波」之「相位角」差為:稱為「同相(in phase),當兩個信號合成時,其「振幅值」兩兩相加,「相位角」維持原角度。

2.      兩個「簡諧波」之「相位角」差為180°:稱為「反相(out of phase),當兩個信號合成時,完全相互抵銷,其「振幅值」兩兩相加為零。

 

綜合本單元的討論:

 

1.      1:探討兩個不同頻率「簡諧波」的合成。

2.      2:導入「簡諧波」的「相位角」概念,並探討有相同頻率的兩個「簡諧波」的合成效應。

3.      3:探討「同相(in phase)及「反相(out of phase)的相同頻率之兩個「簡諧波」的合成效應。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.09.05

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1FFT系列:兩個簡諧波合成,FFT頻譜分析有甚麼現象?–不同頻率的餘弦波

2FFT系列:兩個簡諧波合成,FFT頻譜分析有甚麼現象?–頻率相同,不同相位角


3FFT系列:兩個簡諧波合成,FFT頻譜分析有甚麼現象?–頻率相同,不同相位角