這個單元要來探討的主題是：【¼車輛行駛模型】 (Quarter Car Model) –
(4) 「頻譜響應分析」(Spectrum Response
Analysis)。這是這個系列的第四篇。
在先前單元：#318，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？-
車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】，介紹了【¼車體模型】的「數學建模」(mathematical modeling)，以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
首先回顧一下，先前單元：#314，【車輛動力學(Vehicle
Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？】，參閱圖示左上方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚,
𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：
𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)
𝒚 的 側向位移(lateral displacement)
𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)
𝝓 的 翻滾角度(roll angle)
𝜽 的 前傾角度(pitch angle)
𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)
參閱圖片左下方，以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢，一部汽車會有4個輪子，此模型假設汽車的左右、前後對稱，所以只取了一個輪子，因此稱為【¼車體模型】(quarter car model)。
針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。
要分析這個【¼車體模型】(quarter car model)，會有4種分析：
(1)
系統之模態參數(modal parameters)：「自然頻率」(natural frequency )𝒇𝒓，「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓，「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)。
(2)
系統之頻率響應函數FRF (frequency response function)：在此會有興趣的是，位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。
(3)
系統的位移/速度/加速度之時間域響應：探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)。
(4)
系統的位移/速度/加速度之頻率域響應：探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
本單元的重點，主要在討論「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
要對這個系統，進行後續的分析，就需要推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)，參閱圖示中間上方，可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下：
[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}
在此，要進行「頻譜響應分析」，參閱圖示右上方，基本理念說明如下：
1. 路面位移輸入
𝒚(𝒕)是隨機路面(random road profile)：當車速= 𝑉，行經如圖示的隨機路面，不容易進行「暫態響應分析」，所以，需要採用「頻譜響應分析」。
2. 首先，必須將隨機波𝒚(𝒕)，轉換為「功率頻譜密度函數」(power spectral density (PSD) function) 𝑮𝒚𝒚 (𝒇)。
3. 參考ISO對不同等級路面的定義，可以得到隨機路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)，也就是隨機路面的PSD分布曲線。
4. 參考圖示，可觀察：在相同等級路面，當車速 𝑉越高時，則路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)分布曲線就越大，表示有更大的路面波動。在相同車速 𝑉時，等級越差的路面，則路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)分布曲線就越大，也是代表有更大的路面波動。因此，就完成了隨機路面位移輸入 𝒚(𝒕)之定義，是以路面𝑮𝒚𝒚 (𝒇) 的PSD分布曲線表示。
5. 由於路面是隨機波，預期系統自由度的位移時間域響應：𝒙𝒓(𝒕)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。也會是隨機信號。因此，需要透過「頻譜響應分析」以求得系統自由度的PSD「功率頻譜密度函數」[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)]矩陣。
6. 透過「頻譜響應分析」，可得到：[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)]=[𝑯(𝒇)]^(∗^𝑻 ) [𝑮𝒚𝒚 (𝒇)][𝑯(𝒇)]。其中，[𝑯(𝒇)]就是「頻率響應函數」FRF (frequency response function)，所以，要進行「頻譜響應分析」之前，必須先完成「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)，以求得[𝑯(𝒇)] FRF矩陣。
「頻譜響應分析」，主要在求得系統的位移/速度/加速度之頻率域響應，主要在求得系統自由度的PSD分布曲線，[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)] PSD矩陣，可以得到每個自由的PSD「功率頻譜密度函數」曲線，包括：如右下方圖示的位移和加速度的PSD分布曲線，重點說明如下：
1. 模擬車輛行駛於隨機波的路面，可求得自由度𝒙𝟏、𝒙2和𝒙3的位移PSD分布曲線。在低頻率區間，𝒙2和𝒙3高於𝒙𝟏，而在高頻率區間，𝒙𝟏高於𝒙2和𝒙3。
2. 取得了每個自由度的位移PSD分布曲線，概念上，曲線所圍的面積就是總振動能量，透過積分運算、再開根號，就可以求得每個自由度的位移RMS (root mean square)值，包括：𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔、𝒙2,𝒓𝒎𝒔、𝒙3,𝒓𝒎𝒔，也就是平方平均根值。透過這樣的分析，雖然沒有取得隨機響應波形，但是知道了位移的RMS值，也相當於瞭解了車體各部位的振動的狀態。
3. 同時，也可以求得自由度𝒙𝟏、𝒙2和𝒙3的加速度PSD分布曲線，有類似於位移的特徵。同樣的，也可以透過積分、開根號，可以求得加速度RMS值。
4. 知道每個自由度的振動量大小，對車體結構部位可以進行安全性評估。對於座位的響應，可以進行乘客的舒適度(ride comfort)分析，這就需要引用ISO 2631人體振動暴露量之評估方式，再另闢單元討論。
綜合一下這個單元的討論，這個系列是針對【¼車體行駛動態分析模型】，也就是【¼車體模型】(quarter car model)。分別介紹了4種分析：(1)「模態響應分析」(modal analysis)、(2)「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)、(3)「暫態響應分析」(transient response analysis)、(4)「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
這個單元著重於「暫態響應分析」(transient response analysis)的理念說明，可以求得系統的位移/速度/加速度之頻率域響應。分析步驟，包括：
1. 推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)：得到「基座激振多自由度系統」的通式，[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}。
2. 進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)：需要明確的定義路面位移輸入
𝒚(𝒕)，在此分析的是，模擬車輛行駛於隨機路面狀態的響應，參考ISO對不同等級路面狀態，可以定義出隨機路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)「功率頻譜密度函數」(power spectral density (PSD) function)。透過「頻譜響應分析」，可以得到車體系統的輪軸 𝒙𝟏 、底盤 𝒙2和座位 𝒙3的位移和加速度的PSD分布曲線，進而求得系統自由度的RMS值，就可以應用於後續的車輛安全性或舒適度評估。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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