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《振動噪音科普專欄》相同自然頻率,不同阻尼比,SDOF系統之自由振動響應有甚麼差異?


這個單元的主題,「相同自然頻率,不同阻尼比,SDOF系統之自由振動響應有甚麼差異?」,其中,「SDOF系統」是指「外力激振(force excitation) 的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system)。「自由振動」是f(t)=0,也就是沒有外力作用下的系統響應。

 

每個「SDOF系統」都會有自然頻率𝒇𝒏 以及「阻尼比ξ,稱為「模態參數」。本單元將探討相同「自然頻率」時,而有不同的「阻尼比」,此系統響應的「頻譜」會有甚麼特徵?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

若是對此「外力激振」「單自由度系統」,進行「理論模態分析」,可以得到兩個「模態參數」,在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

f(t)=0,也就是沒有外力作用下,稱為「自由振動」,在「次阻尼」狀態:0<ξ<1,其系統位移響應,可寫成:x(t)=Xe^(-σt) cos(2πfn t-φ),各個參數的表示式,可參閱圖示。圖示右上方,是對應此方程式的單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。

 

本單元要針對x(t) 進行FFT頻譜分析」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇)。以下為所設定的輸入參數:f(t)=0X0= 1 mV0=0 m/s

 

在此,令系統的「自然頻率」都是 𝒇𝒏 = 200 Hz,而「阻尼比」分別是ξ=0ξ=0.001ξ=0.005,參閱圖示下方,是三種狀態的圖示,可以分別觀察x(t)𝑿(𝒇)的響應特徵,探討如下:

 

1.      時間域響應x(t)自然頻率相同,阻尼比ξ=0,沒有衰減現象,觀看影片,可以聽到聲音是持續的。隨著阻尼比」增大對數衰減的效應,也比較大,因為衰減率𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃(2𝝅𝒇𝒏)。觀看影片,可以聽到聲音,阻尼比」增大,聲音也快速的消失。

2.      傅立業頻譜𝑿(𝒇),「振幅值:在𝒇𝒏 = 200 Hz自然頻率」處,會出現一個「峰值(peak)。其「峰值」對應的「振幅值」,ξ=0,如預期,X=1,因為是純「簡諧波」。隨著阻尼比」增大振幅值會減小。當阻尼比」增大自然頻率」處「峰值」對應的「振幅值」,會減小。

3.      傅立業頻譜𝑿(𝒇),「相位角ξ=0,如預期,「相位角」為0°,因為是單純的「餘弦波」。當有「阻尼比」時,在穿越「自然頻率」處,會有180°的相位角變化。當「阻尼比」越大,「相位角」曲線,會比較大的折彎效應。

 

 

綜合一下本單元的討論重點:

 

1.      以「外力激振」的「單自由度系統」為例,其系統的自然頻率」,和質塊的「質量m、彈簧的「彈簧常數k相關。在此,固定系統的「自然頻率」,而變化不同的「阻尼比」。

2.      相同自然頻率」,不同阻尼比」,單自由度系統之自由振動響應」,在時間域會有「對數衰減」的效應。「阻尼比」越大,其「對數衰減」的效應越大。因為,「衰減率𝝈=𝝃𝝎𝒏,和「阻尼比」成正比。

3.      自由振動響應」的「傅立業頻譜𝑿(𝒇)振幅值」,在fn自然頻率」處,會出現一個「峰值(peak)隨著阻尼比」增大,其峰值」的「振幅值會減小。

4.      自由振動響應」的「傅立業頻譜𝑿(𝒇)相位角」,在fn自然頻率」處,其「相位角」為0°,同時,在穿越「自然頻率」處,會有180°的「相位角」變化。

 

所以,實務上,如果取得結構振動信號的頻譜,要判斷是否有「自然頻率」的方式:

 

1.      在「頻譜」的「振幅值」有「峰值」的位置,可以判斷是潛在的「自然頻率」。

2.      同時,也可以由有180°的「相位角」變化的位置,可以觀察判斷是否有系統的「自然頻率」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.11.12

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