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《振動噪音科普專欄》如何解讀典型圓形平板的模態振型?


工程師對一個結構進行了理論模態分析(theoretical modal analysis),可以求解得到結構的「自然頻率」(natural frequency)以及對應的「模態振型」(mode shape)。如何解讀結構「模態振型」的物理意義呢?本文針對圓形平板結構「模態振型」之物理意義解讀方式作個介紹。

在先前的單元談過與振動模態相關的單元:模態振型(mode shape)如何解讀?物理意義?】、【典型矩形平板模態振型之解讀】、【甚麼是結構的振動模態?】,可以先瀏覽以溫故知新。

結構的振動模態(vibration modes),包括:自然頻率(natural frequency)模態振型(mode shape)、及模態阻尼比(modal damping ratio)。此三個參數稱為模態參數(modal parameters),振動模態是系統的特性,我們可以由理論分析、數值解析求得結構的「理論模態參數」;也可以由實驗方法,以「實驗模態分析」,求得「實際結構的模態參數」,可參考先前單元:【甚麼是【實驗模態分析】?What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)】。

如圖1,是一個四週固定邊界的圓形平板結構,進行理論模態分析」所求得的「自然頻率」以及對應的「模態振型」,看到彩色的圖示、甚至動畫,是不是有眼花撩亂的感覺?

從圖1,可以得知四週固定邊界的圓形平板結構的20個振動模態,包括:「自然頻率」以及對應的「模態振型」,重點摘錄如下:

1.          這個圓板結構在400Hz以內,就有20結構振動模態:第1個自然頻率是34.66Hz,第20個自然頻率是387.44Hz。自然頻率通常由小排到大。
2.          軸對稱模態(axisymmetric mode):由於是圓形的軸對稱結構,振動模態會有軸對稱的模態,如第2及第3個模態,自然頻率都是72.13Hz;其他如4/57/89/1011/1213/1416/1718/19都是倆倆的軸對稱模態。特徵是自然頻率相同,模態振型的物理意義相同,但是有90度相位角的差異。預期第21個模態也是與第20個模態是軸對稱的模態。
3.          非軸對稱模態(non-axisymmetric mode):在這20個振動模態中,也有3個模態是非軸對稱模態,分別是:第1個自然頻率是34.66Hz,第6個自然頻率是134.92Hz,及第15個自然頻率是302.24Hz

2標示了每個振動模態的節線(nodal line),節線是有甚麼意義呢?在節線位置,圓板是不會來回振動,也就是不動點的位置。從圖2及影片的說明,重點如下:

1.          圓形平板可以以(r, θ)極座標的方式,藉以表示模態振型的物理意義。
2.          θ=0,是沿著圓週方向,沒有節線。θ=1,沿著圓週方向,有一條節線。θ=2,沿著圓週方向,有兩條節線。θ=3,沿著圓週方向,有三條節線。
3.          r=0,是沿著半徑方向,沒有節線。r=1,是沿著半徑方向,有一圈的節線。r=2,是沿著半徑方向,有兩圈的節線。
4.          綜合起來,圓形平板的模態振型物理意義,就可以由(r, θ)=(0,0)(r, θ)=(1,0)(r, θ)=(2,0)(r, θ)=(0,1)(r, θ)=(0,2)(r, θ)=(0,3)等方式來標示。看到如(r, θ)=(1,3),就可以知道是沿著半徑方向,有一圈的節線,而沿著圓週方向,有三條節線。
5.          須注意,自然頻率由小到大出現的順序,在圖2中,以(r, θ)方式標示的方式,是不規則跳動。
6.          也可以預期,自然頻率越高,所對應的模態振型將越複雜,複雜是指「節線」的數量會越多。

透過圖2(r, θ)方式,標示圓形平板的模態振型物理意義,可以快速方便讓人一目了然,更能夠有意義的解釋振動模態的變化情形。

希望本文對解讀形平板結構模態振型(mode shape)物理意義的說明,對您有幫助!

以上個人看法,請多指教!
王栢村
2018.05.08