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《振動噪音科普專欄》什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)？
在振動噪音信號的解析，常會聽到「轉速頻率」(rotating
speed frequency)這個名詞。這個單元就來看「轉速」以及「轉速頻率」兩者之間的關係！
「轉速」是一個物體的旋轉速度，例如一個轉動軸，該軸每分鐘的迴轉數是1200，單位是RPM (revolution per minute)，或是CPM (cycle per minute)，也就是「轉速」為1200 RPM。
既然「轉速」已經很清楚了，可以以如1200
RPM表示，那麼為什麼還要「轉速頻率」這個名詞呢？
當「轉速頻率」冠上了頻率，就知道頻率的單位是Hz，也就是cycle/sec，每秒的次數，或是每秒的迴轉數。因此，「轉速頻率」f 與 「轉速」RPM 之間的關係是：f =
RPM/60。
如果，「轉速」為1200 RPM，則「轉速頻率」f=1200/60=20 Hz。這樣的轉換關係清楚了，但是，為什麼要以「轉速頻率」f=20 Hz，來代表轉速呢？
一般轉動機械在穩定運轉時，大都以固定的轉速RPM正常動作。我們知道每一個結構系統都有其固有的結構振動模態(structural vibration mode)，振動模態包括了自然頻率(natural
frequency)以及模態振型(mode shape)；結構的振動模態，一般會有無限多個模態數，也就是自然頻率fr，r=1,2,…，實務上，自然頻率會以Hz單位表示。
前文【共振現象之觀察】，解釋過甚麼是「共振」(resonance)，簡單的說：當「外力激振頻率」等於結構系統的「自然頻率」時，就會有「共振」的現象。對機械系統而言，「共振」通常會造成機械的大幅度振動，潛在地影響機械的安全及運轉壽命。所以，機械系統在設計時，需要考慮避免「共振」。
在轉動機械系統，其「轉速」對應的「轉速頻率」其實就是該系統的「外力激振頻率」，為避免結構「共振」，此轉動機械系統的設計，就要避免系統的「自然頻率」，不可與「轉速頻率」相近。
以上討論可知，為了配合機械系統的設計考慮，在設定了機械的額定「轉速」規格，可以得知對應的「轉速頻率」，這樣在機械系統的設計分析，求得系統的「自然頻率」，有相同的頻率單位Hz，可以便於相互比較。
另一個觀點，針對轉動機械系統，有人提出「臨界轉速」(critical speed)的概念，簡單的說：此轉動機械系統的「自然頻率」，乘以60，可以取得「自然頻率」對應的「轉速」RPM，就是「臨界轉速」。
綜合以上討論，重點摘要如下：
1.
「轉速」及「轉速頻率」本質上是相同的，只是單位不同。「轉速」單位RPM；「轉速頻率」單位Hz。
2.
「轉速頻率」f 與 「轉速」RPM 之間的關係是：f = RPM/60。
3.
在轉動機械系統，其「轉速」對應的「轉速頻率」其實就是該系統的「外力激振頻率」。
4.
轉動機械系統的設計，要避免結構「共振」，必須：系統的「自然頻率」，不可與「轉速頻率」相近。
5.
在設計分析，求得系統的「自然頻率」，其頻率單位Hz，為便於相互比較，所以會以「轉速頻率」Hz來代表「轉速」RPM。
6.
「臨界轉速」(critical speed)的概念，簡單的說：轉動機械系統的「自然頻率」單位Hz，乘以60就是「臨界轉速」單位RPM。
7.
轉動機械系統的設計，要避免結構「共振」，必須：系統的「臨界轉速」，不可與機械的「轉速」相近。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2017.12.08
《振動噪音科普專欄》正弦波及餘弦波有甚麼關聯性嗎？
在振動噪音信號的解析，常會以單一頻率的正弦波(sine wave)或餘弦波(cosine wave)來介紹振動的位移、速度及加速度的波動現象，或是說明聲音壓力的聲波波動現象，那麼正弦波與餘弦波之間有甚麼關聯性嗎？為什麼有時候說正弦波，有時候又說餘弦波呢？另外，也會有稱為簡諧波(harmonic wave)，簡諧波是怎樣的波？本單元就來說明，這三個名詞之間到底有甚麼關係呢？
首先，綜合寫出此三個名詞以及其數學方程式，列出如下：
1.
正弦波(sine wave)：x(t)=X*sin(ωt)
2.
餘弦波(cosine wave) ：x(t)=X*cos(ωt)
3.
簡諧波(harmonic wave) ：x(t)=X*sin(ωt)、x(t)=X*cos(ωt)、x(t)=X*exp(iωt)
其中，X為弦波的振幅(amplitude)；ω=2πf為弦波的圓周頻率(circular
frequency)，單位：rad/sec；f為弦波的頻率(frequency)，單位：Hz。備註：以上方程式忽略了相位角，便於本單元說明三個名詞的關聯性，可參閱【正弦波的相位角是甚麼？】單元。
就名詞上來說，簡諧波可以說是正弦波及餘弦波的通稱，更明確的說法是單一頻率的簡諧波。
正弦波與餘弦波在波型的本質上是相同的，僅是有相位角的差異，前文解釋過【正弦波的相位角是甚麼？】，本單元會再深入說明正弦波與餘弦波之間的關係，就是相差了90度相位角。
前文，【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？】，就有解釋了餘弦波的幾何意義，要區別正弦波與餘弦波，還是需要由幾何意義的波動曲線圖示，比較能夠說明兩者間的差異，確實只有90度相位角的差異。
參考圖1，分別呈現了正弦波與餘弦波的數學方程式以及波動曲線示意圖。圖2則是說明了正弦波與餘弦波之間，就是相差π/2、或是90度的相位角。也就是波動的曲線特徵，正弦波與餘弦波其實是相同的，只是t=0的參考點位置有所不同。
從波型的幾何圖示，是可以看出正弦波與餘弦波的相位角差異，以及波動的相同特徵。在數學方程式上，就分別有sin 及 cos 函數的定義，爾後單元我們也會介紹以 exponential函數來表示簡諧波的方式。
綜合以上討論，總結如下：
1.
正弦波與餘弦波，分別是以sin 及 cos 函數，定義了兩者的數學方程式，各有其數學意義。
2.
正弦波與餘弦波的波動曲線幾何意義，就波動的特徵而言，本質上是相同的，只是因為t=0的參考點位置不同，而有不同的數學方程式表示。
3.
不管是以正弦波sin函數、或是以餘弦波cos函數，來描述表示一個單一頻率的波動訊號，這樣的波動訊號，都可以泛稱為簡諧波。
4.
簡諧波包含了正弦波與餘弦波。
5.
簡諧波是簡稱，完整的說法是：單一頻率的簡諧波。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2017.12.06
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±12000與±18000 deg/sec。頻率範圍涵蓋2000Hz。重量約3克。
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《振動噪音科普專欄》餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？
本單元以餘弦波(cosine wave)為例，說明甚麼是數學意義(mathematical meaning)、幾何意義(geometry
meaning)、以及物理意義(physical meaning)。
典型的餘弦波可以寫出以下的方程式：x(t)=Xcos(2πft+ϕ)，或是=Xcos(ωt+ϕ) ，當寫出一個方程式，可以說這就是其數學意義，當然就要了解其中所有變數代表的意義，其中：
(1)
x(t)，代表餘弦波，x是時間t的函數，代表隨時間t變化的量值。
(2)
X為此餘弦波的振幅(amplitude)。
(3)
f為此餘弦波的頻率(frequency)，單位：Hz。
(4)
ω=2πf為此餘弦波的圓周頻率(circular
frequency)，單位：rad/sec。
(5)
ϕ是此餘弦波的相位角(phase angle)，單位：rad。
寫出x(t)餘弦波的方程式，雖然對每一個變數符號，包括：x(t)、t、X、f、ω、ϕ，都有說明其名稱及意義，其實，還是不容易了解各個變數以及餘弦波的意涵，所以，可以透過圖示的方式藉以表達此餘弦波方程式的幾何意義。
圖示，為餘弦波的幾何示意圖，水平軸為時間t，垂直軸為x(t)，餘弦波x(t)呈現波動的特徵，可以觀察出幾個特性：
(1)
此波形的最大值為X，最小值為-X，原來方程式中的X，就是+/-之間的最大值及最小值，所以稱為餘弦波的振幅。
(2)
圖示中，波峰到波峰的時間間距為T，因為有重複性的特徵，所以稱T為週期(period)
(3)
再進一步探討，可以發現：f=1/T，此餘弦波的頻率f，會是週期T的倒數。
(4)
不同的相位角，則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點，此時間差如圖示為ϕ/ω。
由以上對餘弦波在時間域的圖示說明，可以看出波形的特徵，可以說就是此餘弦波的幾何意義，特別是餘弦波在時間域的幾何意義。
如果，x(t)，代表的是位移函數，那麼這個餘弦波，就有了明確的物理意義，x(t)是時間t的位移函數。當然，實務上x(t)可以用以代表不同的物理量，例如：速度、加速度、電壓、電流、溫度等等，這樣有了物理單位，就有了明確的物理意義。
在此綜合一下，甚麼是數學意義、幾何意義、及物理意義：
(1)
數學意義：寫出如餘弦波的數學方程式，x(t)=Xcos(2πft+ϕ)，或是x(t)=Xcos(ωt+ϕ) ，可以說是此餘弦波的數學意義，當然要知道每一個變數的名稱及代表的意義，包括：x(t)、t、X、f、ω、ϕ。
(2)
幾何意義：當劃出如圖示餘弦波x(t)在時間軸上的波動現象，可以說是此餘弦波的幾何意義。當然，就可以觀察出此波動曲線，在不同變數設定值之各種現象與特徵。如果能夠充分了解其幾何現象，對餘弦波的數學方程式，就容易由幾何意義來了解其數學意義。
(3)
物理意義：如果x(t)代表的是位移，那麼，位移就是此餘弦波的物理意義。當然，在許多不同場合，如溫度、電壓、電流等都可以有餘弦波的特徵，此時，餘弦波的數學方程式就有了不同的物理意義。
本單元以一個單一頻率的餘弦波，解釋說明其數學方程式的數學意義，並以圖示解釋其幾何意義。物理意義則是應用此數學方程式在表示不同的物理量，在振動，常見的物理量就是位移、速度、及加速度。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2017.12.05
