這個單元的主題，「相同自然頻率，不同阻尼比，SDOF系統之自由振動響應有甚麼差異？」，其中，「SDOF系統」是指「外力激振」(force excitation) 的「單自由度系統」(single degree-of-freedom, SDOF, system)。「自由振動」是f(t)=0，也就是沒有外力作用下的系統響應。
每個「SDOF系統」都會有「自然頻率」𝒇𝒏
以及「阻尼比」ξ，稱為「模態參數」。本單元將探討相同「自然頻率」時，而有不同的「阻尼比」，此系統響應的「頻譜」會有甚麼特徵？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
若是對此「外力激振」「單自由度系統」，進行「理論模態分析」，可以得到兩個「模態參數」，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
在f(t)=0，也就是沒有外力作用下，稱為「自由振動」，在「次阻尼」狀態：0<ξ<1，其系統位移響應，可寫成：x(t)=Xe^(-σt) cos(2πfn t-φ)，各個參數的表示式，可參閱圖示。圖示右上方，是對應此方程式的「單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。
本單元要針對x(t) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。以下為所設定的輸入參數：f(t)=0，X0= 1 m及V0=0 m/s。
在此，令系統的「自然頻率」都是 𝒇𝒏
= 200 Hz，而「阻尼比」分別是ξ=0，ξ=0.001，ξ=0.005，參閱圖示下方，是三種狀態的圖示，可以分別觀察x(t)及𝑿(𝒇)的響應特徵，探討如下：
1. 時間域響應x(t)：「自然頻率」相同，「阻尼比」ξ=0，沒有衰減現象，觀看影片，可以聽到聲音是持續的。隨著「阻尼比」增大，「對數衰減」的效應，也比較大，因為「衰減率」𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃(2𝝅𝒇𝒏)。觀看影片，可以聽到聲音，「阻尼比」增大，聲音也快速的消失。
2. 「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，「振幅值」：在𝒇𝒏 = 200 Hz「自然頻率」處，會出現一個「峰值」(peak)。其「峰值」對應的「振幅值」，ξ=0，如預期，X=1，因為是純「簡諧波」。隨著「阻尼比」增大，「振幅值」會減小。當「阻尼比」增大，「自然頻率」處「峰值」對應的「振幅值」，會減小。
3. 「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，「相位角」：ξ=0，如預期，「相位角」為0°，因為是單純的「餘弦波」。當有「阻尼比」時，在穿越「自然頻率」處，會有180°的相位角變化。當「阻尼比」越大，「相位角」曲線，會比較大的折彎效應。
綜合一下本單元的討論重點：
1. 以「外力激振」的「單自由度系統」為例，其系統的「自然頻率」，和質塊的「質量」m、彈簧的「彈簧常數」k相關。在此，固定系統的「自然頻率」，而變化不同的「阻尼比」。
2. 相同「自然頻率」，不同「阻尼比」，單自由度系統之「自由振動響應」，在時間域會有「對數衰減」的效應。「阻尼比」越大，其「對數衰減」的效應越大。因為，「衰減率」𝝈=𝝃𝝎𝒏，和「阻尼比」成正比。
3. 「自由振動響應」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)「振幅值」，在fn「自然頻率」處，會出現一個「峰值」(peak)。隨著「阻尼比」增大，其「峰值」的「振幅值」會減小。
4. 「自由振動響應」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)「相位角」，在fn「自然頻率」處，其「相位角」為0°，同時，在穿越「自然頻率」處，會有180°的「相位角」變化。
所以，實務上，如果取得結構振動信號的頻譜，要判斷是否有「自然頻率」的方式：
1. 在「頻譜」的「振幅值」有「峰值」的位置，可以判斷是潛在的「自然頻率」。
2. 同時，也可以由有180°的「相位角」變化的位置，可以觀察判斷是否有系統的「自然頻率」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.11.12
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