《振動噪音產學技術聯盟》如何檢查頻譜分析儀(FFT spectrum analyzer) – 3.自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check) – 原理(Principle)

這個單元要來探討的主題是:如何檢查「頻譜分析儀(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作?這是這個系列的6,針對3的功能檢查:3. 自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check),本單元介紹「自身功率頻譜(Auto PSD Spectrum)的基本原理(Principle)以及相關背景知識。

 

首先,回顧先前單元:#338,【如何進行EMA量測數據之信號處理?】,參閱圖示右上方,EMA量測數據信號處理流程圖,簡要說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊(𝒕):「時間波形(time waveform),是EMA實驗量測的「原始數據(raw data)𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊(𝒕) 分別是敲擊外力和加速度響應的數據。

2.      𝑭𝒋 (𝒇)𝑨𝒊 (𝒇):「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),是透過FFT分析取得。

3.      𝑮𝒋𝒋 (𝒇)𝑮𝒊𝒊 (𝒇):「自身功率頻譜(auto power spectrum, auto PSD),以及 𝑮𝒋𝒊(𝒇)𝑮𝒊𝒋(𝒇):「交叉功率頻譜(cross power spectrum, cross PSD),都是透過PSD分析取得。

4.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇):「頻率響應函數(frequency response function, FRF),是透過FRF分析取得。

5.      𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇):「關聯性函數(coherence function, COH),是透過COH分析取得。

 

這個單元著重在PSD分析,也就是「功率頻譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數的分析,參閱【EMA量測數據信號處理流程圖】下方圖示,是對應流程圖中所有變數符號的典型案例圖示,本單元,著重在4個變數符號:𝑮𝒋𝒋 (𝒇)𝑮𝒊𝒊 (𝒇)𝑮𝒋𝒊(𝒇)𝑮𝒊𝒋(𝒇),也就是PSD功率頻譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數。

 

接下來,就以【4W】心法來思考:

 

1.      What is? 甚麼是PSD spectrum功率頻譜」?

2.      Why to do? 為什麼要取得PSD spectrum功率頻譜」?

3.      What goal? 取得PSD spectrum功率頻譜」要達到甚麼目標?

4.      How to do? 如何取得PSD spectrum功率頻譜」?

 

What is? 甚麼是PSD spectrum功率頻譜」?簡單的說:由對應𝒙(𝒕)𝑿(𝒇)傅立葉頻譜」,進行PSD分析,就可以取得「功率頻譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數,可簡稱為,「功率頻譜」。又可以分為兩種:(1)自身功率頻譜(Auto PSD)(2)交叉功率頻譜(Cross PSD)

 

PSD功率頻譜密度」函數的定義,如下:

 

1.      Auto PSD = 𝑮𝒇𝒇(𝒎𝜟𝒇)=𝑭∗(𝒎𝜟𝒇)𝑭(𝒎𝜟𝒇)。其中,𝑭(𝒎𝜟𝒇) = 𝒇(𝒕)的「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),表示成數位化的形式,𝒎 = 頻譜條數(spectral line)𝒎=𝟏,𝟐,…,𝑵𝒄,共有𝑵𝒄個條數。可以簡寫為:𝑮𝒇𝒇(𝒇) =𝑭∗(𝒇)𝑭(𝒇),是對𝑭(𝒇)取共軛複數(complex conjugate),得到𝑭∗(𝒇),乘上𝑭(𝒇),兩個相乘的「傅立葉頻譜」是相同的,所以稱為「自身功率頻譜(Auto PSD)

2.      Cross PSD = 𝑮𝒇𝒂(𝒎𝜟𝒇)=𝑭∗(𝒎𝜟𝒇)𝑨(𝒎𝜟𝒇),表示成數位化的形式,可以簡寫為:𝑮𝒇𝒂(𝒇)=𝑭∗(𝒇)𝑨(𝒇)。是對𝑭(𝒇)取共軛複數(complex conjugate),得到𝑭∗(𝒇),乘上𝑨(𝒇),兩個相乘的「傅立葉頻譜」是不相同的,所以稱為「交叉功率頻譜(Cross PSD)。需要注意的是,𝑮𝒇𝒂(𝒇) 𝑮𝒂𝒇(𝒇)

 

知道兩種函數的定義:「自身功率頻譜(Auto PSD)、或是「交叉功率頻譜(Cross PSD),可以看出,其計算分析方式是相同的,只是兩個「傅立葉頻譜」是相同的、或是不相同的。

 

瞭解PSD功率頻譜密度」函數的定義,再來觀察「自身功率頻譜(Auto PSD)的單位,以下符號,令:𝒖(𝒕)=信號的「時間波形」,可能是𝒇(𝒕)、或𝒂(𝒕)𝑼(𝒇) =信號的「傅立葉頻譜」,而𝑮𝒖𝒖 (𝒇) =信號的「自身功率頻譜(Auto PSD)

 

𝑮𝒖𝒖 (𝒇)的單位,依照不同場合,可以表示成不同的單位形式,綜合如下:

 

1.      振幅值平方 𝑼^𝟐 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)

2.      振幅值𝑼 : 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=(𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇) )

3.      平方平均根值的平方 𝑼𝒓𝒎𝒔^𝟐 : 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝟐

4.      平方平均根值 𝑼𝒓𝒎𝒔 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=(𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝟐)

5.      振幅值平方/頻率 𝑼^𝟐/𝐇𝐳 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝜟𝒇

6.      平方平均根值平方/頻率 𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳 : 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/(𝟐𝜟𝒇)

 

其中,以餘弦波(Cosine)為例:數學方程式:𝒙(𝒕)=𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕),其中,振幅值=𝑨,餘弦波的頻率= 𝒇𝟎 Hz。所以,振幅值平方 𝑼^𝟐就是𝑨^𝟐

 

平方平均根值(root mean square value, 𝒓𝒎𝒔 value),或簡稱方均根值,也就是𝒓𝒎𝒔。注意:就𝒓𝒎𝒔值的意義來說,中文名詞,應該是方均根值,不宜稱為均方根值餘弦波(Cosine)為例,其𝒓𝒎𝒔值,𝑨𝒓𝒎𝒔= 𝑨/sqrt(𝟐) = 0.707 𝑨。所以,𝑼𝒓𝒎𝒔^𝟐𝑼^𝟐之間,會有除以𝟐 的關係。

 

常用的Auto PSD單位,是𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳𝒓𝒎𝒔值平方除以頻率,所以,在計算此單位時,還要除以𝜟𝒇 = 頻率解析度。所以,此單位的計算方式,可以簡寫為:𝑮𝒖𝒖(𝒇)=𝑼∗(𝒇)𝑼(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇)。其中分母的𝟐𝜟𝒇𝟐是取得𝒓𝒎𝒔值,而𝜟𝒇是取得頻譜密度的頻率。

 

如果是外力的「自身功率頻譜(Auto PSD),就是:𝑮𝒇𝒇(𝒇)= 𝑭(𝒇) 𝑭(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇),單位= (𝑵 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。如果是加速度的「自身功率頻譜(Auto PSD),就是:𝑮𝒂𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) 𝑨(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇) ,單位= (g 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳

 

Why to do? 為什麼要取得PSD spectrum功率頻譜」?有幾個理由:(1) PSD spectrum是可以取平均(averaging),可以降低雜訊(noise)(2) 因為,取平均的PSD spectrum,可以更容易觀察頻譜的特徵。(3) 更重要的是,必須要有PSD spectrum,才可以計算求得「頻率響應函數(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數(coherence, COH)

 

What goal? 取得PSD spectrum功率頻譜」要達到甚麼目標?當然就是要能夠計算得到正確的PSD spectrum

 

How to do? 如何取得PSD spectrum功率頻譜」?參閱右上方流程圖,一個信號的「自身功率頻譜(Auto PSD),必須由𝒖(𝒕)=信號的「時間波形」,透過FFT分析,取得 𝑼(𝒇) =信號的「傅立葉頻譜」,再透過PSD分析,取得𝑮𝒖𝒖 (𝒇) =信號的「自身功率頻譜(Auto PSD)。或是由兩個信號的「傅立葉頻譜」,才能夠取得兩個信號的「交叉功率頻譜(Cross PSD)

 

接下來的問題,如何確認:PSD分析,得到的PSD spectrum功率頻譜」是正確的呢?參閱圖示右下方的方程式,是對𝑮𝒖𝒖(𝒇)在頻率區間上,做積分、再開根號,就可以得到𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 = 𝒖(𝒕)方均根值,也就是𝒖(𝒕)時間波形」的𝒓𝒎𝒔。在此要注意:𝑮𝒖𝒖(𝒇)的單位要採用𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳。同時,此積分的幾何意義:相當於是𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum曲線,和頻率軸之間,所圍成的面積。𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇𝒇,代表是由𝑮𝒖𝒖(𝒇)頻譜,所求得的𝑼𝐫𝐦𝐬

 

𝑼𝐫𝐦𝐬 也可以直接由 𝒖(𝒕)時間波形」的原始量測數據求得,對𝒖(𝒕)取平方、取平均、再開根號,就可以取得𝒖(𝒕)時間波形」的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕。其中的𝒕代表是由𝒖(𝒕),所求得的𝑼𝐫𝐦𝐬

 

如果,由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum功率頻譜曲線,透過積分式,取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇,能夠和由𝒖(𝒕)時間波形」取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕,兩者能夠相同的話,也就是:𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 = 𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕那麼就可以驗證計算取得的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum之正確性。這就是進行3的功能檢查:3. 自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check)的基本原理(Principle)

 

綜合一下這個單元的討論,總結如下:

 

1.      回顧先前單元:#338,【如何進行EMA量測數據之信號處理?】,參閱圖示右上方,EMA量測數據信號處理流程圖,從「時間波形(time waveform),進行FFT分析,取得「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),再透過PSD分析,可以取得「功率頻譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數,進而由FRF分析,可以得到「頻率響應函數(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數(coherence, COH)。本單元重點在:PSD分析的基本原理。

2.      以【4W】的心法:(1) What is? 甚麼是PSD spectrum功率頻譜」?(2) Why to do? 為什麼要取得PSD spectrum功率頻譜」?(3) What goal? 取得PSD spectrum功率頻譜」要達到甚麼目標?(4) 如何取得PSD spectrum功率頻譜」?做了概述探討。包括:「自身功率頻譜(Auto PSD)以及「交叉功率頻譜(Cross PSD)

3.      針對Auto PSD以及Cross PSD,分別由數位化的「傅立葉頻譜」定義其計算與分析方式。

4.      特別對Auto PSD,說明𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum功率頻譜」不同單位的表示方式。最重要的Auto PSD單位,是𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳

5.      典型的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum,例如:外力Auto PSD𝑮𝒇𝒇(𝒇)單位= (𝑵 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳加速度Auto PSD 𝑮𝒂𝒂(𝒇)單位= (g 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳

6.      一個信號的𝒓𝒎𝒔值,可以由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum功率頻譜曲線,透過積分式,取得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇

7.      一個信號的𝒓𝒎𝒔值,也可以直接由𝒖(𝒕)時間波形」的原始量測數據,求得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕

8.      如果,由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum功率頻譜曲線取得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇,和𝒖(𝒕)時間波形」的原始量測數據求得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕,兩者相等:𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 = 𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕就可以驗證計算取得的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum功率頻譜」之正確性。盡管是以Auto PSD,進行驗證分析,因為Cross PSDAuto PSD算法相同,所以,可以校正PSD分析的正確性。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.06.21

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