這個單元要來探討的主題是：「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「串聯彈簧」(Series springs)的「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。
參閱圖示左上方，是一個原始系統：「串聯彈簧」(Series springs)的質塊系統，有兩個彈簧分別是
𝒌𝟏 和 𝒌𝟐，以串聯方式和一個質塊 𝒎 連接在一起，此系統的DOF自由度是𝒙(𝒕)。
在此的「等效系統分析」之分析目標，在取得如圖示中間上方的「等效系統」(Equivalent System)：單自由度的「等效彈簧質塊系統」，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」(Equivalent mass)和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant)。
由原始系統和「等效系統」的DOF自由度比較，可以判斷：𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，接下來的問題，就是如何求得𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。
如果，完成「等效系統分析」，即可得到「等效系統」，可對應等效於原始系統。
要往下討論之前，先回顧先前單元主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？以及為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，參閱圖片的下方系列圖示，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的，主要是不必進行複雜的如「暫態響應分析」(transient response analysis)，就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」？
再回到原始系統：「串聯彈簧」(Parallel spring)的質塊系統，由於比較複雜，先觀察「等效系統」：單自由度的「等效彈簧質塊系統」，可以取得「等效彈簧」的彈簧力𝑭𝒔，可得到：𝑭𝒔 = 𝒌𝒆𝒒 𝒙。
接下來，要分析原始系統，參閱左上方圖示，簡要步驟說明如下：
1. 定義間接的自由度𝒙𝟎：𝒌𝟏 和
𝒌𝟐 連接點位置的位移。
2. 取得
𝒌𝟏 彈簧力：𝑭𝒔 = 𝒌𝟏 𝒙𝟎。
3. 取得
𝒌𝟐 彈簧力：𝑭𝒔 = 𝒌𝟐 (𝒙−𝒙𝟎)。
4. 因為，𝒌𝟏 和
𝒌𝟐彈簧力在同一軸線上，所以，兩個彈簧力相等，𝑭𝒔 = 𝒌𝟏 𝒙𝟎 = 𝒌𝟐 (𝒙−𝒙𝟎)。
5. 由
3.，可求得：𝒙𝟎
= 𝒙
− 𝑭𝒔/𝒌𝟐。
6. 將
5. 帶入 2. ，可求得：𝑭𝒔 = 𝒌𝟏 (𝒙−𝑭𝒔/𝒌𝟐 )。
7. 對6.
移項處理，可得：𝑭𝒔 = [(𝒌𝟏 𝒌𝟐)/(𝒌𝟏+𝒌𝟐)]𝒙
比較原始系統和「等效系統」的彈簧力𝑭𝒔方程式，可以得到兩個「串聯彈簧」的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒
= (𝒌𝟏 𝒌𝟐)/(𝒌𝟏+𝒌𝟐)。
其次，即可帶入
𝒇𝒏 方程式，如果，已知：𝒎𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，即可求得系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。在此系統，𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，可明確求得系統的 𝒇𝒏。
最後，由於取得了系統的
𝒇𝒏「自然頻率」，可以和 𝒇𝒆「激振頻率」比較探討。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
同理，可以推導出「串聯彈簧」的 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」通式：參閱圖片中央的方程式，共有𝒏個「串聯彈簧」。理念上，對每一個彈簧常數，取倒數，相加後，再取倒數，就是「串聯彈簧」的 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。
綜合這個單元的討論，進行的是「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「串聯彈簧」(Series springs)的「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下：
1. 探討原始系統：「串聯彈簧」的質塊系統。
2. 進行「等效系統分析」：定義「等效系統」的單自由度「等效彈簧質塊系統」，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。
3. 分析得到「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒 以及 𝒎𝒆𝒒 「等效質量」。
4. 進而，可以推算系統的
𝒇𝒏「自然頻率」。
5. 評估「共振」(resonance)：系統的 𝒇𝒏「自然頻率」再和 𝒇𝒆「激振頻率」比較，可以評估「共振」(resonance)。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
0 意見:
張貼留言