《振動噪音科普專欄》EMA系列：如何進行實驗模態分析？

 

這個單元的主題，來探討：如何進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)？「實驗模態分析」EMA也可以稱為「模態試驗/測試」(modal testing)。

 

在先前單元已有相關主題的探討，讀者可參閱：#23：【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】、#24：【如何量測得到結構的頻率響應函數？】。

 

簡單的說：「實驗模態分析」是一種實驗方法，主要在求得結構的「模態參數」，包括：「自然頻率」、「模態振型」及「模態阻尼比」。

 

本單元再以實際案例，以不同的方式，再次討論：如何進行「實驗模態分析」EMA？

 

如果，我們要對如圖示的懸臂樑結構，進行「實驗模態分析」，主要可以分成以下三個步驟如下：

 

1.      實驗量測(experimental measurement)

2.      信號處理(signal processing)

3.      曲線嵌合(curve fitting)/模態參數擷取(extraction of modal parameters)

 

在第一個步驟「1.實驗量測」階段，需要選擇進行「實驗模態分析」EMA的輸入及輸出方式，說明如下：

 

1.      輸入方式：也就是「激振源」 (excitation source)的選用，在此採用「衝擊鎚」(impact hammer)，用以激振此懸臂樑，可以度量出「衝擊力」f(t)。如左上方圖示，可以觀察到典型的「衝擊力」f(t)時間波形。

2.      輸出方式：也就是擷取結構響應的感測器(sensor)，在此案例以「加速度規」(accelerometer)，量測懸臂樑受衝擊力後的結構「加速度」a(t)響應。如左上方圖示，也可以觀察到典型的「加速度」a(t)時間波形，呈現出具有衰減的隨機振動信號。

 

如果，能夠取得「衝擊力」f(t)以及「加速度」a(t)，就完成了「1.實驗量測」。在此要注意，當要對一個結構進行「實驗模態分析」EMA，參閱本單元圖示「模態域」的「系統方塊圖」(system block diagram)，主要目的在求得結構的「振動模態」(vibration modes)，包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)如下：

 

(1)       自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟

(2)       模態振型(mode shape) 𝜙𝑟

(3)       模態阻尼比(modal damping ratio) 𝜉𝑟

 

其中，𝑟代表第𝑟個模態。相關主題可參閱：#98：【如何由實驗取得結構的模態參數？】。

 

完成了第一個步驟「1.實驗量測」，分別量測得到「衝擊力」f(t)以及「加速度」a(t)，接著要進行「2.信號處理」，主要目標在取得結構系統的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF) Hij(f)，參閱本單元圖示「頻率域」的「系統方塊圖」(system block diagram)說明如下：

 

1.      輸入信號：當然就是「衝擊力」f(t)，進行「FFT頻譜分析」，可以取得「外力」的「傅立業頻譜」F(f)，以及對應的「功率頻譜」Gff(f)。由Gff(f)圖示，可看出此懸臂樑的EMA案例，在4 kHz以前，Gff(f)呈現接近於「白噪音」，也就是可以有效激發4 kHz以前的結構「振動模態」。

2.      輸出信號：就是「加速度」a(t)，進行「FFT頻譜分析」，可以取得「加速度」的「傅立業頻譜」A(f)，以及對應的「功率頻譜」Gaa(f)。圖示為0~1000 Hz的「加速度頻譜」

3.      系統資訊：在此的「系統資訊」，就是結構系統的「頻率響應函數」FRF，以Hij(f)表示，其中，i代表「加速度」a(t)的位置及方向，而j是「衝擊力」f(t)的位置及方向。取得FRF的典型方式，是採用H1(f)= Gfa(f)/ Gff(f)，爾後，再另闢單元討論H1(f) 的解析理念。

 

完成了第二個步驟「2.信號處理」，主要在取得了結構系統的「頻率響應函數」Hij(f)。在此要注意，如果進行EMA，是固定「衝擊鎚」，而移動「加速度規」，將會取得一系列的Hij(f)，例如：j=1，i=1,2,…,Na，其中，Na是「加速度規」的量測點數，以下的案例，令Na=30。

 

當取得了一系列的Hij(f)，第三個步驟就是「3.曲線嵌合」，也可稱為「3.模態參數擷取」的步驟。也就是將前步驟所取得的一系列的Hij(f)，透過「3.曲線嵌合」，將可求得系統的「模態參數」。

 

為什麼可以由一系列的Hij(f)，求得系統的「模態參數」呢？可以由前述的兩個「系統方塊圖」，來說明：

 

1.      頻率域的「系統方塊圖」：其中，系統資訊就是「頻率響應函數」Hij(f)。

2.      模態域的「系統方塊圖」：其中，系統資訊就是3個重要的「模態參數」，包括：𝑓𝑟、𝜉𝑟、𝜙𝑟。

 

概念上，「頻率響應函數」以及「模態參數」都是系統參數，兩者會有明確的對應關係，在此忽略此理論方程式的探討，不過，理論上可以知道，由「頻率響應函數」，是可以求得系統的「模態參數」，反之亦然。

 

透過「3.曲線嵌合」的步驟，可以分別求得3個重要的「模態參數」，包括：

 

(1)       自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟：參閱「頻率響應函數」Hij(f) 圖示，可觀察Hij(f)振幅值所顯現的峰值(peaks)，各個峰值所對應的頻率，就是系統的「自然頻率」。參閱圖示，可觀察在 1500 Hz以下，有6個主要峰值，所以有6個「自然頻率」。圖示顯示，在1500 Hz以下的前5個「自然頻率」𝑓1~ 𝑓5。

(2)       模態阻尼比(modal damping ratio) 𝜉𝑟：由Hij(f)振幅值所顯現的波峰之尖銳程度，可以推算結構「振動模態」的「模態阻尼比」，如圖示中每一個模態，有對應的「模態阻尼比」在0.217 % ~ 1.09 %之間。

(3)       模態振型(mode shape) 𝜙𝑟：參閱圖示的右下方，可以觀察到對應前5個「振動模態」的「模態振型」，因為Na=30，所以可觀察到有30個分割點的「模態振型」。懸臂樑的固定端，也可視為是一個「節點」(nodal point)，也就是結構動畫中的「不動點」。越高頻率的「振動模態」，其「模態振型」的「節點」越多，如第5個「振動模態」的「模態振型」𝜙5，除了固定點外，就有4個「節點」。

 

在此需有的認知，每一個「振動模態」，其3個「模態參數」是成對的，也就是一對一的對應關係。一個「振動模態」有其各自的「自然頻率」、「模態振型」、以及「模態阻尼比」。

 

綜合本單元，有關如何進行「實驗模態分析」，可以歸納有三個步驟如下：

 

1.      實驗量測(experimental measurement)：需要準備好「激振源」，如「衝擊鎚」，以及可擷取結構響應的感測器，如「加速度規」。當然，還需要DAQ 資料擷取裝置(Data Acquisition device)，也就是典型的「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，才可以量測到「衝擊力」f(t)，以及結構的「加速度」a(t)響應，也就是時間域的信號。

2.      信號處理(signal processing)：透過「FFT頻譜分析」，對時間域信號的f(t)及a(t)進行信號處理，最重的是可以得到結構系統的「頻率響應函數」FRF，以Hij(f)表示。

3.      曲線嵌合(curve fitting)/模態參數擷取(extraction of modal parameters)：在此要注意，需要取得一系列的Hij(f)，才可以在「3.曲線嵌合」的步驟，解析求得「振動模態」的「模態振型」。如果，只有一個Hij(f)，只能夠推算出「振動模態」的「自然頻率」以及「模態阻尼比」。

 

由於，「1.實驗量測」以及「2.信號處理」，通常可由「頻譜分析儀」一併完成，所以，再簡單的說，要如何進行「實驗模態分析」呢？「實驗模態分析」的兩個基本步驟：

 

1.      量測取得結構的「頻率響應函數」。

2.      由「頻率響應函數」透過「曲線嵌合」求得結構的「模態參數」。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2020.12.08

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