這個單元來探討的主題：結構振動分析的步驟與流程，會以「樑結構」(beam structure)系統為例，來說明。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，說明如下：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：對「實際結構」(real structure)，進行「數學模型化」，可以得到結構的「數學模型」(mathematical
model)。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：由結構的「數學模型」，進行「推導運動方程式」，可以得到可描述系統的「系統方程式」(system equations)，不同系統特性，會有不同的數學方程式，例如：「單自由度系統」是二階的常微分方程式，「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式，而「連續系統」則是偏微分程式。
3. 模態分析(modal analysis)：由得到的「系統方程式」，進行「理論模態分析」，可以求得系統的「模態參數」。進而，可以將原始物理域的「系統方程式」，以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」，此步驟有助於後續的響應分析。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：由模態域的「系統方程式」，可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」，所對應的模態域的「數學模型」，於此，有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：係基於系統受到「簡諧激振」(harmonic excitation)假設，可以求得系統的「簡諧響應」(harmonic response)，稱之為「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：若結構系統受到已知的時間域「外力」(external force)，透過「暫態響應分析」，可求得結構系統如位移的「時間域響應」。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：如果，結構系統受到的是「隨機」(random)的「外部激振」(external
excitation)，透過「頻譜響應分析」，可求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
如果，對一個結構進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis,
EMA)，大致會是反向的程序，先量測得到結構系統的「時間域響應」，再利用FFT求得其「頻率響應」，進而可得到「頻率響應函數」，再以「曲線嵌合」(curve fitting)，求得結構的「模態參數」。有關此主題，我們再另闢單元討論。
這個單元將探討「樑結構」，如何透過圖示的這些程序步驟，進行結構振動分析。首先，回顧一下先前單元#170：【樑結構之振動分析有哪些？】，參閱圖2，簡要說明如下：
1. 實體結構：是一個「簡支樑」(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖，幾何形狀看起來像個平板，不過，這裡以「樑結構」(beam structure)的角度來討論。同時，可以看到兩端是「簡支邊界」(simply-supported)。
2. 數學模型：對應實體結構，可透過「數學模型化」(mathematical modeling)的步驟，取得「物理域數學模型」(physical mathematical model)。取樑的「中性軸」 (neutral axis)，以線架構來簡化代表實體。圖示中，f(x,t)是作用在樑的外力函數，w(x,t)是樑的側向位移。需要明確定義：「系統參數」(system
parameters)、「輸入參數」(input parameters)、「輸出參數」(output parameters)，也就是ISO/SPR的理念。
3. 運動方程式：有了「數學模型」(mathematical model)，要以理論解析方式探討，就要先推導「系統運動方程式」(system equations of motion)，參閱圖示可以得到是一個「偏微分方程式」(partial differential equation, PDE)，在這裡，沒有要解析此數學方程式，而是，概念性的說明，此「樑結構」的四種「振動分析」。
接下來，回顧一下「振動分析」，可以藉由”4W”的思考想一下「振動分析」：
1. What is?：甚麼是「振動分析」？
2. Why to do?：為什麼要進行「振動分析」？
3. What to get/know?：進行「振動分析」可以得到/知道甚麼？
4. How to do?：如何進行「振動分析」？
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
由圖1，是結構振動分析的步驟流程，會以另外一角度，來看如何進行「多自由度系統」的四種「振動分析」。由圖1的流程圖，可以從兩個方向討論：
1.
振動理論分析：「由上而下」的流程，是進行「振動理論分析」的程序步驟，也就是本單元的討論重點。
2.
實驗模態分析：「由下而上」的流程，則是進行「實驗模態分析」的程序步驟，我們再另闢單元討論。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，在此取「樑結構」以此程序步驟，進行探討：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：首先有「實際結構」，是一個「簡支樑」(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖，透過「數學模型化」(mathematical modeling)的步驟，取得「物理域數學模型」(physical mathematical model)。取樑的「中性軸」 (neutral axis)，以線架構來簡化代表實體。圖示中，f(x,t)是作用在樑的外力函數，w(x,t)是樑的側向位移。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：對此「簡支樑」的「數學模型」，可以得到是一個「偏微分方程式」(partial differential equation, PDE)。
3. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「樑結構」的「模態參數」為：(1)「自然頻率」，ωr=2πfr，詳細的方程式，可參閱圖示，會和樑的密度(
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：有了系統原始的「物理域系統方程式」，可以轉換為以「模態參數」表示的「模態域系統方程式」。在此，「模態域數學模型」是以「自然頻率」，ωr，「模態阻尼比」，ξr所表示的無窮多個獨立的「單自由度系統」。值得注意的是，此「模態域系統方程式」和「物理域系統方程式」所對應的「模態域數學模型」和「物理域數學模型」是等效的。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)，圖示以H(ω)代表，其物理意義是：結構受到「簡諧激振」(harmonic
excitation)，其「外力振幅」Fj，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，其「位移振幅」Wi，所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅」Wi，除以輸入的「外力振幅」Fj，Hij(ω)=Wi/Fj，完整的表示式參閱圖示，可以觀察到是與「模態參數」的三個參數ωr、
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t)，以及「樑結構」的「初始位移」及「初始速度」。可以求得「輸出」是w(x,t)，為「樑結構」的位移「時間域響應」。此分析是從「時間域」的角度，探討結構的暫態響應。可以求得「輸出」是
w(x,t)，為樑在x位置的位移「時間域響應」。由圖示的w(x,t)方程式，可以看到是「模態座標」(modal
coordinate) qr(t)，與「模態振型函數」φr(x) 的線性組合(linear combination)，此稱為「擴充原理」(expansion theorem)。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「隨機外力」f(x,t)，若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」，雖然可行，但是不容易解析、也曠日廢時，所以會將「隨機外力」f(x,t)，進行FFT(快速傅立業轉換)【甚麼是頻譜分析？】，求得「隨機外力」的「自身功率頻譜」Gff(ω)，透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應」Gww(ω)，也就是「樑結構」的位移「功率頻譜密度函數」。對Gww(ω)取積分、開根號，可以求得位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小，可達到分析目的。
綜合本單元的討論，是從先前單元#170：【樑結構之振動分析有哪些？】談起，是個別的看「實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」，以及有四種「振動分析」：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論，則是將這些個別的分析工作事項(tasks)，綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟，以流程化的方式呈現及討論。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.08.11
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