這個單元的主題：「樑結構」之「振動分析」有哪些？解剖下來有兩個問題：甚麼是「樑結構」？
以及甚麼是「振動分析」？
參閱圖示，是一個「簡支樑」(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖，幾何形狀看起來像個平板，不過，這裡以「樑結構」(beam structure)的角度來討論。同時，可以看到兩端是「簡支邊界」(simply-supported)。
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
如果要對這個「簡支樑」(simple support beam)結構，進行理論分析，需要進行「數學模型化」(mathematical modelling)，取樑的「中性軸」 (neutral axis)，以線架構來簡化代表實體。圖示中，f(x,t)是作用在樑的外力函數，w(x,t)是樑的側向位移。
接著，推導系統的「運動方程式」 (system equation)，可以得到是一個「偏微分方程式」(partial differential
equation, PDE)，在這裡，沒有要解析此數學方程式，而是，概念性的說明，此「樑結構」的四種「振動分析」。
針對此「樑結構」的四種「振動分析類型」，分別進一步討論：
1. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal
parameters)。在此「樑結構」的「模態參數」為：(1)「自然頻率」，ωr=2πfr，詳細的方程式，可參閱圖示，會和樑的密度(
)、楊氏係數(E)、截面積(A)、截面積慣性矩(I)、長度(L)相關。其中，r 是指第 r 個模態，此「樑結構」是連續系統(continuous
system)，所以，「振動模態」(vibration modes)會有無窮多個。(2)「模態振型」，在此「樑結構」會是連續函數，以
表示，圖示有顯示「簡支樑」的前三個模態之「模態振型」，分別是
、
、
。(3)「模態阻尼比」，ξr，通常在理論的「正交模態分析」(normal
mode analysis)，是沒有考慮「阻尼」效應。若要取得「阻尼比」，一般需要透過實驗方式，如「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)，圖示以H(ω)代表，其物理意義是：結構受到「簡諧激振」(harmonic
excitation)，其「外力振幅」Fj，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，其「位移振幅」Wi，所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅」Wi，除以輸入的「外力振幅」Fj，Hij(ω)=Wi/Fj，完整的表示式參閱圖示，可以觀察到是與「模態參數」的三個參數ωr、
、ξr相關。參閱右方圖示，「外力振幅」Fj，是作用在「樑結構」的xj位置上的簡諧點力(harmonic point force)，而Wi是在「樑結構」的xj位置上的簡諧響應之「位移振幅」。典型的「樑結構」之「頻率響應函數」Hij(ω)的振幅圖，如圖示，其特性再另闢單元討論，不過，可以看到在「自然頻率」，ωr的頻率位置，會有高的峰值響應，這就是「共振」(resonance)的來源。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t)，以及「樑結構」的「初始位移」及「初始速度」。可以求得「輸出」是w(x,t)，為「樑結構」的位移「時間域響應」。此分析是從「時間域」的角度，探討結構的暫態響應。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「隨機外力」f(x,t)，若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」，雖然可行，但是不容易解析、也曠日廢時，所以會將「隨機外力」f(x,t)，進行FFT(快速傅立業轉換)【甚麼是頻譜分析？】，求得「隨機外力」的「自身功率頻譜」Gff(ω)，透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應」Gww(ω)，也就是「樑結構」的位移「功率頻譜密度函數」。對Gww(ω)取積分、開根號，可以求得位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小，可達到分析目的。
總結一下本單元的討論，進行結構的「振動分析」，會從三個階段觀察與模擬結構系統，分別是：
1. 實體結構：也就是左上方圖示的「簡支樑之實體結構」。需要知道結構系統的幾何形狀尺寸(Geometry)、材料參數(Materials)、邊界狀態(Boundary)，也需要知道「輸入」(Input)的激振源，以及有興趣瞭解的「輸出」(Output)響應。問題定義的技巧可參閱：【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】。
2. 數學模型：對此「簡支樑之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)。其中，「系統參數」(system parameters)，就是：樑的密度(
)、楊氏係數(E)、截面積(A)、截面積慣性矩(I)、長度(L)。「輸入」是f(x,t)，為系統的外力，當然也需要知道結構的「初始條件」(initial
conditions)，包括：結構的「初始位移」及「初始速度」。以及定義有興趣的「輸出」是w(x,t)，為「簡支樑」的位移響應。
3. 運動方程式：以中性軸簡化的「樑結構」，其運動方程式(system equation)是「偏微分方程式」，其中，「樑結構」的位移參數w(x,t)，對時間 t有兩次偏微分，所以，需要兩個「初始條件」：「初始位移」及「初始速度」。另外，對位置座標 x有四次偏微分，所以，也需要四個「邊界條件」。如何解析此數學方程式，未來再另闢單元討論。
最後，統整一下本單元介紹的四種「振動分析類型」，總結說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「系統」資訊，也就是「模態參數」(modal parameters)，在此「樑結構」，包括：「自然頻率」ωr、「模態振型」
、以及「模態阻尼比」ξr。其中， r 是指第 r 個模態，此「樑結構」是連續系統(continuous
system)，會有無窮多個「振動模態」(vibration modes)。「模態分析」是一種「系統分析」(system analysis)，可簡稱P-analysis，在求得結構系統的「模態域參數」。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：也是一種「系統分析」(P-analysis)，在求得結構系統的「頻率域參數」，是求得輸出與輸入之間的FRF。主要在得到結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)， Hij(ω)=Wi/Fj，其物理意義是：輸出的「位移振幅」Wi除以輸入的「外力振幅」Fj。其中，ω=2πf為「簡諧激振」的「激振頻率」。「頻率響應函數」Hij(ω)是三個「模態參數」的函數。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：可以說是R-analysis「響應分析」(response analysis)，在求得系統的「輸出響應」(output response)。主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t)，以及「樑結構」的「初始位移」及「初始速度」，可以求得「輸出」是w(x,t)，為「樑結構」的位移「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：也是R-analysis「響應分析」(response analysis)，在求得系統的「頻率域」之「輸出響應」(output response)。會採用「頻譜響應分析」，主要應用在結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，將「時間域」之「隨機外力」f(t)，透過”FFT”轉換到「頻率域」進行求解，取得系統輸出的位移「功率頻譜密度函數」，進而可求得位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小。
本單元，以「樑結構」為例，探討了典型的四種「振動分析類型」，包括：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。也由”4W”的思考：”What is?”、” Why to do? ”、”What to get? What to know?
”、”How to do? ”，引導說明與討論四種「振動分析類型」，希望讀者能對「振動分析」有進一步的瞭解。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.07.18文章粉絲團連結
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