先前單元：【甚麼是「模型驗證」？】，簡要介紹模型驗證的需要性及實施方法。【如何應用EMA於分析模型的模型驗證？】，說明如何引用EMA於模型驗證。【模型驗證的意義與虛擬測試之應用】，介紹應用模型驗證理念於虛擬測試Virtual
Testing的工程實務案例，【結合「CAE」與「EMA」之工程設計與應用：後懸吊扭曲管件結構】，【Integration of CAE and EMA for Engineering Design and Applications：Vertical Auxiliary Table】，分別以實際的「後懸吊扭曲管件結構」以及「振動試驗機的垂直輔助平台」之設計變更流程，探討模型驗證(Model
Verification)的意義與虛擬測試(Virtual
Testing)之應用。
這個單元我們再來看高爾夫球碳纖維球桿的模型驗證，主要有三個步驟：
1.
對球桿進行實驗模態分析(experimental
modal analysis, EMA)：以衝擊鎚為驅動器敲擊球桿，以加速度規量測加速度響應，以取得球桿的頻率響應函數(frequency response function, FRF)。再對量測的一系列FRF，進行曲線嵌合(curve fitting)，可以擷取出球桿的模態參數(modal parameter)，包括：自然頻率(natural frequency)、模態阻尼比(modal damping ratio)，以及對應的模態振型(mode shape)。
2.
對球桿進行有限元素分析(finite
element analysis, FEA)：在FEA可以分成兩個步驟：(1)理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到理論的自然頻率以及模態振型。(2)簡諧響應分析(harmonic response
analysis)，可以得到理論的頻率響應函數。
3.
進行模型驗證(model verification,
MV)的比較程序：觀察圖示共有三個區塊的圖示及表格，右下角是頻率響應函數，左下角是高爾夫球桿的自然頻率比較表，右上角是EMA及FEA求得的球桿模態振型。
這個單元著重在討論，在模型驗證的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數？
首先，由系統的角度，繪製系統方塊圖，可以從3個面向來說明：
1.
物理域(physical domain)：如物理域方塊圖，輸入是fj(t)，代表的是衝擊鎚的外力輸入時間域信號；j，則代表了外力的作用位置與方向。輸出是ai(t)，代表的是量測到加速度的時間域響應；i，則代表了加速規的擺放位置及量測方向。系統資訊當然就是球桿的幾何與材料參數，在理論分析時，對應的就是[M]、[C]、[K]三個矩陣，分別是質量矩陣(mass matrix)、阻尼矩陣(damping matrix)、勁度矩陣(stiffness matrix)。
2.
模態域(modal domain)：除了從物理域角度看系統，也可由模態域角度來觀察系統，也就是模態參數，每一個振動模態(vibration mode)，都有自然頻率、模態振型、及模態阻尼比，這三個模態參數，圖示中的下標符號r，代表第r個振動模態，r=1,2,…，由低頻率開始排序，理論上，有無限多個振動模態。首先，需要有一個認知，當結構系統參數如幾何形狀、材料參數、邊界條件等固定不變的話，系統的模態參數，也是不變的，也就是不會因為輸入的不同，而改變了結構的振動模態。由TMA的正規模態分析(normal mode
analysis)，只可以得到自然頻率及模態振型；而由EMA，三個模態參數，包括模態阻尼比都可以取得。
3.
頻率域(frequency domain)：第三個角度看系統，就是頻率域的系統方塊圖。系統方塊呈現的是Hij(f)，就是頻率響應函數，理論上，Hij(f)=Ai(f)/Fj(f)，加速度ai(t)的傅立葉頻譜Ai(f)，除以外力fj(t)的傅立葉頻譜。在此，Hij(f)的i及j，分別代表了加速度及外力的位置與方向。所以本案例的頻率響應函數單位是g/N，也就是加速度除以力的單位。
從頻率響應函數圖示，與結構的模態參數，包括自然頻率、模態振型及模態阻尼比，會有怎樣的關聯性呢？綜合討論如下：
1.
頻率響應函數圖示之FRF曲線：由於頻率響應函數是複數(complex number)，是因為有阻尼效應的關係。又，模態阻尼比的大小，會影響FRF曲線的尖銳度。本案例FRF圖示，取複數的振幅(amplitude)，並以對數座標方式畫出FRF曲線。
2.
FRF曲線的峰值頻率：由頻率響應函數圖示，FRF曲線的每一個峰值所對應的頻率，簡稱峰值頻率(peak frequency)，就是結構的自然頻率。一般由最小的自然頻率標註f1，餘此類推，理論上，有無限多個自然頻率。在此高爾夫球桿的案例，在2500Hz頻率範圍內，可以觀察到有7個峰值頻率，也就是有7個振動模態(vibration mode)。
3.
振動模態的模態參數，是成對倆倆對應：觀察每個峰值頻率，由EMA及FEA所對應得到的模態振型，都有明確的倆倆對應之相同物理意義。在此要注意，在自然頻率比較表中，能夠將EMA及FEA的自然頻率放在一起比較，探討其自然頻率的差異百分比，必須要確認，所比較的是相同的模態，因為，振動模態的模態參數，是成對出現的。
4.
軸對稱模態：在此高爾夫球桿案例，因為球桿是軸對稱結構，所以會有軸對稱模態(axisymmetric mode)，其兩個模態的自然頻率相同，模態振型呈現90度的相位角差，基本上，都是彎曲模態(bending mode)，一為y方向、一為z方向的彎曲變形特性。自然頻率比較表中，FEA的分析結果，呈現F07、F09等，忽略了F08、F10，是因為軸對稱模態的緣故。
5.
剛體模態與彈性體模態：在EMA的模態(mode)標示，是E01、E02，而FEA是F07、F09，是為什麼呢？此球桿是全自由邊界(free boundary)的分析，所以會有6個剛體模態(rigid body mode)，F07開始，才是對應於實驗量測取得的結構彈性體模態(elastic body mode)，或稱撓性體模態(flexible body mode)。
讀者看到這裡，應該可以理解：在模型驗證的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數？那麼需要比較到甚麼程度，模型驗證才算成功？又，需要哪些技術能力，才能執行模型驗證呢？提示如下：
2.
學會FEA：包括，理論模態分析以及簡諧響應分析。
3.
學會MV的比較程序：要觀察頻率域的頻率響應函數，分析與實驗的FRF曲線，不僅趨勢要一致，量值大小也要相符。同時，也要比對模態域的模態參數，特別是自然頻率誤差在合理的範圍，此【合理範圍】則需工程判斷(engineering
judgement)，依照案例及需求自訂。
本單元以高爾夫球碳纖維球桿的模型驗證，探討模型驗證的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數？希望對讀者在模型驗證的物理意義與應用，有進一步的了解與體會！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.10.01
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