這個單元要來探討的主題是：進行結構的振動分析(vibration analysis)，如何設定「元素比例黏滯阻尼」(element proportional viscous damping)？
由先前介紹過的幾個單元，已經有認知，進行結構的振動分析(vibration analysis)，是有必要設定「阻尼」(damping)效應。這個單元著重在說明，設定「元素比例黏滯阻尼」(element proportional
viscous damping)的原理、背景知識、以及實務的應用方法。
這個單元主要參考以下的研討會論文：王栢村，王廷維，2013，「簡諧響應分析之阻尼模擬」，中華民國振動與噪音工程學會第21屆學術研討會，台北，論文編號：D0012。
參閱圖片左上方表格，針對不同的「阻尼模型」(damping model)，在CAE軟體的應用設定，有多種選項與應用方式，包括：
1. Model (A) = Undamped = 無阻尼。
2. Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼。
3. Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比。
4. Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比。
5. Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。
6. Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。
7. Model (G) = Damping element = 阻尼元素。
這個單元著重在：Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。而Model (E)，與Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼，有相類似的背景知識。
首先，參閱圖片左下方，是對一個懸臂樑，進行「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)的實驗架構圖。採用了Hammer衝擊槌，敲擊結構，使用的感測器(sensor)是Accelerometer加速規，量測結構的加速度響應。樑結構上的佈點規劃，有30個點，搭配一部「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，量測取得實驗數據。
進行EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
其次，透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，即可取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)
，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
如果，要進行CAE軟體應用分析，也就是常採用的「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行仿真模擬分析(simulation)。就需要透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，希望能夠模擬得到與實驗相符的FRF，達到仿真分析的目標。
參閱圖片左下方，顯示了Model (E) 與Model (B)的分析與實驗FRF曲線圖示，黑色線條是EMA實驗曲線，藍色與紅色線條分別是FEA分析，採用Model (E) 與Model (B)的曲線。可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。
本單元就深入來探討，如何配合EMA「實驗模態分析」，由量測取得的𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)，求得Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼，所需要設定的輸入參數值。
參閱圖片右上方，Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。定義：[𝑪]
=∑ (𝒋=𝟏)~(𝑵𝒎) 𝜷𝒋
[𝑲𝒋]，其中，𝒋=𝟏,
2, …, 𝑵𝒎是指材料模型的數量編號。可以看出來，本質上，阻尼矩陣的定義，就是：[𝑪]
= 𝜷𝒋 [𝑲𝒋]。
由「雷利阻尼」(Rayleigh damping)的假設：[𝑪] = 𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]，就是Model (B)。可以推論，Model (E) 是「雷利阻尼」的特例。忽略了 𝜶[𝑴]，所以，𝜶=0，[𝑪]
= 𝜷[𝑲]。這就是Model (E)的理論假設。而Model (B)是同時考慮了𝜶和𝜷。
由「雷利阻尼」(Rayleigh damping)的假設，如果知道系統的𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)，以及 𝜶和𝜷 的數值，就可推算出 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶/(𝟐𝝎𝒓) + (𝜷𝝎𝒓)/𝟐。
因此，針對Model (E)，若已知𝜷 的數值，就可推算出 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = (𝜷𝝎𝒓)/𝟐。
不過，在工程實務上，𝜷 的數值是未知的，要如何求得𝜷
的數值，和Model (B)的方法相似，步驟說明如下：
1. 進行EMA「實驗模態分析」：取得實際結構的模態參數，包括：(1) 𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。(2) 𝝎 ̂𝒓 =𝟐𝝅𝒇 ̂𝒓「自然頻率」(natural frequency)。
2. 定義最佳化分析問題(optimization problem)：(1)
找到設計變數 𝑿：𝑿=(𝜶,𝜷)，簡化為：𝑿=(𝜷)。(2)
使得預測的「模態阻尼比」：
𝝃𝒓 = 𝜶/(𝟐𝝎 ̂𝒓) + (𝜷𝝎 ̂𝒓)/𝟐，簡化為：𝝃𝒓 = (𝜷𝝎 ̂𝒓)/𝟐。與實驗的模態阻尼比：𝝃 ̂𝒓。兩者的誤差平方平均根值：𝚽(𝑿)=√(
∑_(𝒓=𝟏) ~𝒏
((𝝃𝒓−𝝃 ̂𝒓)/𝝃 ̂𝒓 )^𝟐 ) / 𝒏)，最小。
3. 求解最佳化問題(optimization problem)：(1)
設計變數：𝑿=(𝜷)。(2)
目標函數：𝚽(𝑿)。其物理意義是：每個模態，預測的 𝝃𝒓「模態阻尼比」與實驗的 𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」，取其誤差，再取平方、再取平均、再開根號，就是「模態阻尼比」誤差的「平方平均根值」(root mean square
(RMS) value)。(3) 求得的最佳值：𝜶=0、𝜷=5.9379×10^(−6)。會使得目標函數：𝚽(𝑿)，會有最小值，𝚽(𝑿)=36.87%。
參閱圖片右下方表格與圖示，為Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼，對應的圖示，顯示：預測的 𝝃𝒓「模態阻尼比」與實驗的 𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」之數值與對應示意圖。紅色的曲線，是由𝜶=0、𝜷=5.9379×10^(−6)，擬合模擬所預測的 𝝃𝒓「模態阻尼比」曲線，和藍色的線段曲線，是原始實驗量測取得的5個模態的𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」，有最小的差異變化。
再參閱圖示上方，為Model (B) = Proportional
viscous damping = 比例黏滯阻尼，對應的圖示，是由𝜶=0.69138、𝜷=5.3993×10^(−6)，擬合模擬所預測的 𝝃𝒓「模態阻尼比」曲線，與Model (E)相互比較，只有在低頻率略有差異，大體上，預測的
𝝃𝒓「模態阻尼比」有相似的趨勢。
由以上的分析步驟，就可以取得
𝜷 的數值，在ANSYS軟體，可以分別透過，兩種模型進行分析，
1. Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼：ALPHAD 和
BETAD，設定𝜶=0和 𝜷=5.9379×10^(−6) 的數值。再進行「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，如左下方Model (B)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。
2. Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼：透過MP, DAMP指令，設定𝜷=5.9379×10^(−6) 的數值。再進行「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，如左下方Model (E) 和Model (B)的分析結果，完全相同。也與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。
由上的FRF分析結果可知，Model (E) 和Model (B)是等效的，當Model (B)忽略𝜶[𝑴]，𝜶=0。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 針對Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼，介紹了背景知識與理論基礎。基本上，和Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼，相似。惟，在Model (B) 忽略𝜶[𝑴]，𝜶=0。所以，[𝑪]
= 𝜷[𝑲]。
2. 說明了如何求取
𝜷的具體步驟與流程。(1) 進行EMA「實驗模態分析」：取得實際結構的模態參數，包括：1 𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。2 𝝎 ̂𝒓 =𝟐𝝅𝒇 ̂𝒓「自然頻率」(natural frequency)。(2)
定義最佳化分析問題。(3) 求解最佳化問題(optimization problem)，取得
𝜷的數值。
3. 將取得最佳的𝜷數值，帶入CAE/FEA軟體應用分析，即可求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。
4. 在Model (B) = Proportional
viscous damping = 比例黏滯阻尼，[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。在Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼，只納入：[𝑪]
= 𝜷[𝑲]。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.02.05
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