這個單元要來探討的主題是：進行振動分析(vibration analysis)時，沒有設定「阻尼」(damping)，會有甚麼影響？
先前單元有介紹過，進行振動分析，必需要設定「阻尼」，本單元就來探討，如果，沒有設定「阻尼」(damping)，會有甚麼影響？
這個單元主要參考以下的研討會論文：王栢村，王廷維，2013，「簡諧響應分析之阻尼模擬」，中華民國振動與噪音工程學會第21屆學術研討會，台北，論文編號：D0012。
參閱圖片右上方，是對一個懸臂樑，進行「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis,
EMA)的實驗架構圖。採用了Hammer衝擊槌，敲擊結構，使用的感測器(sensor)是Accelerometer加速規，量測結構的加速度響應。樑結構上的佈點規劃，有30個點，搭配一部「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，量測取得實驗數據。
進行EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，參閱圖片的中間圖示，是實驗量測的FRF「頻率響應函數」，(𝒊,𝒋)=(𝟑𝟎,𝟑𝟎)，也就是敲擊在自由端，量測也在自由端位置的FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。
FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇) = −𝝎^𝟐 𝒀𝒊 (𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)。FRF是 𝑯𝒊𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。其中，𝑨𝒊(𝒇) = −𝝎^𝟐 𝒀𝒊(𝒇)，顯示出：加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，與位移頻譜𝒀𝒊(𝒇)，之間的關係式。
考慮「比例阻尼」(proportional damping)，FRF是：𝑯𝒊𝒋(𝒇) =
−𝝎^𝟐
∑(𝒓=𝟏) ~∞ (𝝓𝒓(𝒙𝒊) 𝝓𝒓(𝒙𝒋)) / ((𝝎𝒓^𝟐−𝝎^𝟐)−𝒊(𝟐𝝃𝒓 𝝎𝒓))，其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇。此 𝑯𝒊𝒋(𝒇) 方程式重要的意義是：由系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)，可以推算得到FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。
因此，當實驗量測到結構的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)，可以透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，即可取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。參閱圖片右邊的表格及圖示，說明如下：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)：實驗與分析的𝒇𝒓，誤差在0.64%以內。顯示，分析模型與實際結構有良好的模擬。
2. 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)：表格顯示，在1000 Hz頻率範圍，有5個「振動模態」(vibration modes)。所以，每一個𝒇𝒓，都對應一個𝝃𝒓。𝝃𝒓
的值在0.3% ~ 1.2%之間。要注意：結構的阻尼，只有透過如EMA「實驗模態分析」的實驗方法，才可以得到結構的阻尼，通常就是取得
𝝃𝒓「模態阻尼比」。
3. 𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)：如圖片右下方，顯示了前5個懸臂樑結構的彎曲振動模態(bending mode)的「位移模態振型」(displacement mode shape)。
以上，呈現了對懸臂樑結構進行EMA「實驗模態分析」的過程與結果。可以得到：(1) 結構系統的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。(2)
結構系統的三個「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。
當然，工程實務應用上，希望能以CAE軟體，也就是常採用的「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行仿真模擬分析(simulation)。就需要透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，希望能夠模擬得到與實驗相符的FRF。
如果，進行「簡諧響應分析」，沒有設定「阻尼」(damping)，參閱圖片中間下方的FRF圖示，黑色線條是EMA實驗曲線，紅色線條是FEA分析曲線。可以觀察到在FRF的峰值即共振點(resonance)，以及反共振點(anti-resonance)，FEA分析曲線的量值，會特別的大、或是特別的小。
會有這樣的現象，就是沒有「阻尼」(damping)效應，觀察FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」的方程式，如果沒有𝝃𝒓「模態阻尼比」：𝑯𝒊𝒋(𝒇) = −𝝎^𝟐 ∑(𝒓=𝟏) ~∞ (𝝓𝒓(𝒙𝒊) 𝝓𝒓(𝒙𝒋)) / (𝝎𝒓^𝟐−𝝎^𝟐)。在分母是：(𝝎𝒓^𝟐−𝝎^𝟐)。如果，𝝎 頻率，剛好等於𝝎𝒓「自然頻率」，則
𝑯𝒊𝒋(𝒇) 會是無窮大的量值。
所以，如果沒有設定「阻尼」(damping)，FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)曲線，就會出現如圖示之不正確的高量值，理論上，會是無窮大。實務上，取決於FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)曲線的頻率解析度。
因此，可以瞭解到，在進行振動分析，必需要設定「阻尼」，至於如何設定「阻尼」，再另闢單元討論。
綜合這個單元的討論，進行振動分析(vibration analysis)時，沒有設定「阻尼」(damping)，會有甚麼影響？總結如下：
1. 簡要說明了懸臂樑的「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。
2. 透過EMA實驗，可以量測到結構的「頻率響應函數」(Frequency Response
Function, FRF)，得到實驗的FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑨𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)。
3. 透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，可以取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
4. 進行「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。如果，沒有設定「阻尼」(damping)，在FRF的峰值即共振點(resonance)，以及反共振點(anti-resonance)，FEA分析曲線的量值，會特別的大、或是特別的小，顯現出這種失真的、不正確的現象。所以，在進行振動分析，必需要設定「阻尼」(damping)效應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.02.05
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