《振動噪音產學技術聯盟》如何檢查頻譜分析儀(FFT spectrum analyzer) – 4.頻率響應函數檢查(FRF Check)–原理(Principle)

這個單元要來探討的主題是:如何檢查「頻譜分析儀(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作?這是這個系列的9,針對4的功能檢查:4. 頻率響應函數檢查(FRF Check),本單元介紹「頻率響應函數(frequency response function, FRF)的基本原理(Principle)以及相關背景知識。

 

首先,回顧先前單元:#338,【如何進行EMA量測數據之信號處理?】,參閱圖示右上方,EMA量測數據信號處理流程圖,簡要說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊(𝒕):「時間波形(time waveform),是EMA實驗量測的「原始數據(raw data)𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊(𝒕) 分別是敲擊外力和加速度響應的數據。

2.      𝑭𝒋 (𝒇)𝑨𝒊 (𝒇):「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),是透過FFT分析取得。

3.      𝑮𝒋𝒋 (𝒇)𝑮𝒊𝒊 (𝒇):「自身功率頻譜(auto power spectrum, auto PSD),以及 𝑮𝒋𝒊(𝒇)𝑮𝒊𝒋(𝒇):「交叉功率頻譜(cross power spectrum, cross PSD),都是透過PSD分析取得。

4.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇):「頻率響應函數(frequency response function, FRF),是透過FRF分析取得。

5.      𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇):「關聯性函數(coherence function, COH),是透過COH分析取得。

 

這個單元著重在FRF分析,也就是「頻率響應函數(frequency response function, FRF)的分析,參閱【EMA量測數據信號處理流程圖】下方圖示,是對應流程圖中𝑯𝒊𝒋 (𝒇)函數的量測分析。

 

接下來,就以【4W】心法來思考:

 

1.      What is? 甚麼是FRF頻率響應函數」?

2.      Why to do? 為什麼要取得FRF頻率響應函數」?

3.      What goal? 取得FRF頻率響應函數」要達到甚麼目標?

4.      How to do? 如何取得FRF頻率響應函數」?

 

What is? 甚麼是FRF頻率響應函數」?讀者可參閱先前單元:#363,【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)】。在此針對其定義(definition),簡要說明:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=輸出/輸入。需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。在典型的實驗模態分析EMA實驗量測,𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是外力,𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出是加速度。

 

Why to do? 為什麼要取得FRF頻率響應函數」?就是要了解𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數之間的關係,特別是在頻率域(frequency domain)的關係,就是圖示中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇)函數

 

What goal? 取得FRF頻率響應函數」要達到甚麼目標?當然就是要能夠計算得到正確的FRF頻率響應函數」。

 

How to do? 如何取得FRF頻率響應函數」以及驗證FRF呢?可以分為兩個方式:(1)分析:就是對結構進行「簡諧響應分析(harmonic response analysis, HRA)(2)實驗:就是對結構進行「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)

 

1.      理論分析:「頻率響應函數FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑨𝒊(𝒇)/ 𝑭𝒋(𝒇)。其中,𝑭𝒋 (𝒇)是外力的「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),而𝑨𝒊 (𝒇)是加速度的「傅立葉頻譜」。在理論解析,要求得FRF頻率響應函數」,可以直接取輸出輸入的「傅立葉頻譜」相除,即可求得:𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)

2.      實驗分析:在實驗量測中,由於經過數位化處理(digitization),不能如理論分析,直接由傅立葉頻譜取得,必須由PSD功率頻譜,才能取得正確的FRF頻率響應函數

 

實驗分析取得FRF,也就是透過「頻譜分析儀(FFT spectrum Analyzer),要如何計算得到FRF,在此介紹兩種FRF頻率響應函數估測方法(FRF estimator),說明如下:

 

1.      𝑯𝟏(𝒇):參閱圖片右邊中間圖示,No Input Noise, Uncorrelated Output Noise,也就是假設輸入端的量測,沒有雜訊(noise),在輸出端的量測,存在沒有相關性的雜訊(Uncorrelated noise),以𝜺𝒂(𝒕)表示加速度規量測到的雜訊。可以推導得到:𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒂𝒇(𝒇) = 𝑮𝒇𝒂(𝒇) / 𝑮𝒇𝒇(𝒇)。如果以𝑨𝒊𝑭𝒋表示,𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒋𝒊(𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)

2.      𝑯𝟐(𝒇):參閱圖片右邊下方圖示,No Output Noise, Uncorrelated Input Noise,也就是假設輸出端的量測,沒有雜訊(noise),在輸入端的量測,存在沒有相關性的雜訊(Uncorrelated noise),以𝜺𝒇(𝒕)表示外力量測到的雜訊。可以推導得到:𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒂𝒇(𝒇) = 𝑮𝒂𝒂(𝒇) / 𝑮𝒂𝒇(𝒇)。如果以𝑨𝒊𝑭𝒋表示,𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒊𝒊(𝒇)/𝑮𝒊𝒋(𝒇)

 

原理上,由𝑯𝟏(𝒇)𝑯𝟐(𝒇),都可以計算求得FRF頻率響應函數」,以EMA實驗模態分析」來說,因為,外力輸入通常是可控制的,可以忽略𝜺𝒇(𝒕)雜訊的影響,僅考慮加速度規輸出𝜺𝒂(𝒕)雜訊,所以說:𝑯𝟏(𝒇) 是較佳的FRF估測方法(FRF estimator)。一般的「頻譜分析儀(FFT spectrum Analyzer),在FRF頻率響應函數」的計算,大都採用𝑯𝟏(𝒇)

 

瞭解了FRF頻率響應函數」的實驗分析計算方法,其次,來看FRF Check的原理(Principle),令𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出,也就是:𝒇𝒋 (𝒕) = 𝒂𝒊(𝒕),而且都是隨機的(random)信號。

 

因為𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭,所以,FRF的振幅值(amplitude)會等於1|𝑯𝒊𝒋(𝒇)|=𝟏。而FRF的相位角(phase)會等於0𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝟎

 

綜合一下這個單元的討論,總結如下:

 

1.      回顧先前單元:#338,【如何進行EMA量測數據之信號處理?】,參閱圖示右上方,EMA量測數據信號處理流程圖,從「時間波形(time waveform),進行FFT分析,取得「傅立葉頻譜(Fourier spectrum),再透過PSD分析,可以取得「功率頻譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數,進而由FRF分析,可以得到「頻率響應函數(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數(coherence, COH)。本單元重點在:FRF分析的基本原理。

2.      以【4W】的心法:(1) What is? 甚麼是FRF頻率響應函數」?(2) Why to do? 為什麼要取得FRF頻率響應函數」?(3) What goal? 取得FRF頻率響應函數」要達到甚麼目標?(4) 如何取得FRF頻率響應函數」?做了概述探討其定義(definition)𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=輸出/輸入

3.      實驗分析取得FRF:介紹兩種FRF頻率響應函數估測方法(FRF estimator)(1) 𝑯𝟏(𝒇):假設No Input Noise, Uncorrelated Output Noise𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)(2) 𝑯𝟐(𝒇):假設No Output Noise, Uncorrelated Input Noise𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒊𝒊 (𝒇)/𝑮𝒊𝒋(𝒇)。其中,𝑯𝟏(𝒇)是常用的、最佳的FRF estimator

4.      FRF Check的原理(Principle):令𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出,也就是:𝒇𝒋 (𝒕) = 𝒂𝒊(𝒕),而且都是隨機的(random)信號。因為𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭,所以,FRF的振幅值(amplitude)會等於1|𝑯𝒊𝒋(𝒇)|=𝟏。而FRF的相位角(phase)會等於0𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝟎

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.08.03

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