《振動噪音科普專欄》如何繪圖呈現與解讀結構的頻率響應函數?

這個單元要來探討的主題是:如何繪圖呈現與解讀結構的頻率響應函數(frequency response function, FRF)

 

參閱圖示左上方,節錄自先前單元,#364:【如何求得結構的頻率響應函數?】。重點摘錄如下:

 

1.      如何求得:可以概分為分析」與「實驗」,兩種方法。

2.      結構:任意的結構,當然都可以分別由分析」與「實驗」,求得FRF頻率響應函數

3.      頻率響應函數(frequency response function, FRF)基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元,#363:【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)】。

 

左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析,說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力:可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer),量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)

2.      𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應:可以透過加速度規(accelerometer),黏貼在結構表面,量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF頻率響應函數:要注意,在實驗量測中,由於經過數位化處理(digitization),不能如理論分析,直接由傅立葉頻譜取得,必須由PSD功率頻譜,才能取得正確的FRF頻率響應函數。其中,𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)

 

其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF頻率響應函數,最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|,本單元要詳細來看如何繪圖呈現與解讀結構的FRF

 

繼續討論之前,先回顧先前單元#223SDOF簡諧激振FRF系列(10)Receptance位移率、Mobility移動率、Accelerance加速率之FRF頻率響應函數的定義?有甚麼特性與差異?

 

參考圖示右上方,是「外力激振」「單自由度系統」實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

針對外力激振的SDOF系統,可以定義出三種「頻率響應函數FRF的表示式,統整如下:

 

1.      Receptance位移率=位移/外力= 𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏 / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

2.      Mobility移動率=速度/外力= 𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝒊𝝎 / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

3.      Accelerance加速率=加速度/外力= 𝑯𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = (𝝎^𝟐) / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

 

其中,𝝎=𝟐𝝅𝒇,為外力的激振頻率」,可以看出兩兩之間,相差了𝒊𝝎的倍數,因為複數 𝒊 的關係,就會有90度的相位角差,而(𝒊𝝎)^2等於(𝝎^𝟐),則是相當於有180度相位角差。

 

知道了這個外力激振的SDOF系統,有這三種FRF頻率響應函數的背景知識。又由於EMA實務上的響應量測,通常採用加速度規,所以量測到的是Accelerance加速率= 加速度 / 外力= 𝑯𝒂(𝒇)

 

以下列舉的實際數值案例,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.48 (N/m),也就是mck固定。由「系統參數」:mck,可以推算得到「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)阻尼比𝝃 =0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以都是次阻尼狀態。

 

參閱圖示,顯示 Accelerance加速率」的表達方式,因為FRF是複數(complex number),可以畫出其3組圖示,共有5個圖,如何解讀FRF,討論如下:

 

1.      波德圖(Bode plot):包含了振幅(amplitude)以及相位角(phase angle),水平軸都是頻率,單位=Hz。垂直軸分別就是amplitude以及phase angle在「振幅(amplitude):可以觀察到在激振頻率 𝒇 =1 (Hz),有一個峰值(peak),對應的就是此SDOF系統的自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)在「相位角(phase angle)𝒇~= 𝒇𝒏時,其「相位角」會有180度的變化,而𝒇= 𝒇𝒏時,剛好是在FRF所對應變化180度相位角的中間值,等於90度。

2.      實數部(real)以及虛數部(imaginary)在「實數部(real):觀察加速率𝑯𝒂(𝒇),其自然頻率𝒇𝒏會出現在,通過0」的頻率。在「虛數部(imaginary):觀察𝑯𝒂(𝒇)加速率,其自然頻率𝒇𝒏會出現在,有最大峰值」的頻率。

3.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為極座標圖(polar plot):水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」, FRF的曲線圖,會形成一個「圓圈」,所以也有稱之為circle plot。在Accelerance加速率」,「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。

 

以上簡要的回顧先前單元#223,說明了SDOF系統的三種「頻率響應函數FRF的表示式,也繪製了圖示的表達方式以及解讀系統的𝒇𝒏自然頻率」。

 

接著,就來觀察一個連續系統結構,實際上是一個矩形鋼板結構,實驗量測到的FRF頻率響應函數,就是Accelerance加速率,參閱左下方圖示,以下就依照主要的5種圖示,分別說明討論如下:

 

1.      振幅(amplitude):可以觀到FRF曲線的峰值(peak)4個,每一個peak所對應的頻率,就是結構的𝒇𝒏自然頻率」,所以,在量測的頻率範圍,有4個「振動模態(vibration modes)。注意:在此的振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。

2.      相位角(phase angle):在有振動模態」的頻率區間,會有180度的相位角變化。而在FRF所對應變化180度相位角的中間值,等於90度,其對應的頻率會是:𝒇= 𝒇𝒏自然頻率

3.      實數部(real):結構的𝒇𝒏自然頻率」,會出現在:通過0」的頻率。

4.      虛數部(imaginary):結構的𝒇𝒏自然頻率」,會出現在:有最大峰值」的頻率。

5.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):可以觀察到有4個「圓圈」,對應的就是結構的4個「振動模態」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」,就要繪製垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的振幅(amplitude),每個「振動模態」的峰值大小,可以區別出對應的「振動模態」。每一個「圓圈」有最大振幅的頻率點,或是虛數部的峰值頻率,就可以取得𝒇= 𝒇𝒏自然頻率

 

最後綜合這個單元的討論,如何繪圖呈現與解讀結構的FRF頻率響應函數」,共有三組、5個重要圖示,彙整如下

 

1.      波德圖(Bode plot):包含了振幅(amplitude)以及相位角(phase angle)振幅(amplitude)。垂直軸,可以是以對數座標(logarithmic scale)呈現,或是以線性座標(linear scale)呈現。

2.      實數部(real)以及虛數部(imaginary)

3.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為極座標圖(polar plot)

 

另外,針對結構系統FRF頻率響應函數Accelerance加速率」,分別探討了兩個系統型式,包括:

 

1.      外力激振的SDOF系統:系統只有一個自由度(degree of freedom, DOF),所以,只有一個振動模態(vibration modes)

2.      矩形鋼板結構:在量測的頻率範圍,觀察到有4個「振動模態(vibration modes)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.04.05

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