《振動噪音科普專欄》如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 以「單擺系統」為例


這個單元要來探討的主題是:如何建構「離散系統(discrete system)的「數學模型(mathematical model)- 以「單擺系統」為例。

 

要進行一個結構的「振動分析(vibration analysis),建構「數學模型(mathematical model)是其中一個重要步驟,稱為「數學建模(mathematical modeling)。也就是將「實際結構(real structure)做適當的假設,以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

這個單元就以「單擺系統」的「實際結構」為例,說明由「數學建模」取得「數學模型」的建模過程與步驟。

 

參閱圖示之流程:「實際結構 數學建模 數學模型」。這個單元會探討兩個「單擺系統」:

 

1.      細線「單擺系統」。

2.      長條形桿件「單擺系統」。

 

在先前單元:#13如何求得單擺的自然頻率?】,有介紹過此單擺系統」。不過,這個單元著重在探討如何透過「數學建模」取得其對應「實際結構」的「數學模型」。

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

首先,參閱圖示左下方,對細線「單擺系統」進行「數學建模」,以取得其「數學模型」,7個步驟說明如下:

 

1.      定義系統之質塊元件:就是Mass element。以一個質量球體𝒎,代表「單擺」的球體。

2.      定義系統之連接元件:就是Connection elementsK & C。在此,是一條細線的連接,既不是彈簧常數𝒌,也沒有黏滯阻尼係數𝒄效應。所以,是一個沒有質量效應的剛性線(rigid line)。代表「單擺」球體和固定端的連接狀態。

3.      定義系統之自由度:就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於「單擺」的球體會左右擺盪,剛性線會有旋轉角度𝜽(𝒕),在球體會有切線方向位移𝒙(𝒕)。兩者之間會有明確的幾何關係:𝒙=𝑳𝐬𝐢𝐧𝜽𝑳𝜽

4.      定義系統之邊界條件:就是Boundary。如圖示的線是固定在頂部。

5.      定義系統之輸入條件:就是InputLoading。「單擺」的球體會受到重力效應,而形成來回擺盪,所以有球體的自重外力𝒎𝒈。另外,可以合理定義作用在球體𝒎上的切線方向外力是 𝒇(𝒕)

6.      定義系統之初始條件:就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度𝒙(𝒕) I.C.,包括:初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎

7.      定義有興趣之系統輸出參數:就是Interested Output Variables(1)系統之模態參數:自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃(2)單擺」球體的位移/速度/加速度之時間域響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)

 

其次,參閱圖示右上方,對長條形桿件「單擺系統」進行「數學建模」,以取得其「數學模型」,7個步驟說明如下:

 

1.      定義系統之質塊元件:就是Mass element。除了以一個質量球體𝒎,代表「單擺」的球體之外,長條形桿件假設為剛體(rigid body),也是有質量𝑴

2.      定義系統之連接元件:就是Connection elementsK & C。在此,桿件是以銷接(pin joint)方式,固定在邊界,也假設銷接接點是純滑動、無摩擦(frictionless)。同時,也沒有彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄效應。所以,「單擺」的球體和桿件是一體的組成,同步繞著銷接接點,來回擺盪。

3.      定義系統之自由度:就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於「單擺」的球體和桿件會同步地左右擺盪,桿件會有旋轉角度𝜽(𝒕),在球體會有切線方向位移𝒙𝒎 (𝒕),在桿件重心位置也會有切線方向位移𝒙𝑴(𝒕)。三者之間會有明確的幾何關係:𝒙𝒎=𝑳𝐬𝐢𝐧𝜽𝑳𝜽𝒙𝑴=𝑳/𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜽𝑳/𝟐(𝜽)

4.      定義系統之邊界條件:就是Boundary。如圖示的銷接位置是固定在頂部。

5.      定義系統之輸入條件:就是InputLoading。「單擺」的球體和桿件會受到重力效應,而形成來回擺盪,所以有球體和桿件的自重外力𝒎𝒈𝑴𝒈。另外,可以合理定義作用在球體𝒎上的切線方向外力是 𝒇(𝒕)

6.      定義系統之初始條件:就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度𝒙𝒎(𝒕) I.C.,包括:初始位移𝒙𝒎𝟎和初始速度𝒙 ̇𝒎𝟎

7.      定義有興趣之系統輸出參數:就是Interested Output Variables(1)系統之模態參數:自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃(2)單擺」球體的位移/速度/加速度之時間域響應 𝒙𝒎(𝒕) , 𝒗𝒎(𝒕), 𝒂𝒎(𝒕)

 

當完成了「數學建模」的7個步驟程序,可以得到「實際結構」的「數學模型」,就可以據以進行後續的解析,如推導結構系統的「運動方程式 (equation of motion, EOM),再由EOM,進行求解,再另闢單元討論。

 

綜合這個單元的討論,重點摘要如下:

 

1.      建構「數學模型」的流程步驟:實際結構 進行數學建模 得到數學模型」。

2.      針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟。

 

針對兩個「單擺系統」,分別詳細說明了「數學建模」的7個步驟的詳細流程:

 

1.      細線「單擺系統」。

2.      長條形桿件「單擺系統」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.04.08

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