這個單元要來探討的主題是：「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂絞車結構」的「等效彈簧常數」(Equivalent spring
constant) 𝒌𝒆𝒒。
參閱圖示左上方，是一個原始系統：「懸臂絞車結構」系統。此結構有一個支撐架，相當於是一個懸臂樑，在樑的自由端有絞車，絞車線下方有一個吊掛物體，其質量為𝒎。絞車會有馬達帶動運轉，其轉速RPM，就是每分鐘轉速(revolution per minute, RPM)。絞車馬達運轉在吊載物體時，物體質塊𝒎，會有上下振動，令其DOF自由度是𝒙(𝒕)。
如果，要分析此系統物體質塊𝒎的
𝒙(𝒕) 振動情形，牽涉到複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，在此介紹「等效系統分析」的理念，如圖示中間上方，將以SDOF單自由度的「等效系統」(Equivalent System)來分析，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」(Equivalent mass)和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant)。
由原始系統和「等效系統」的DOF自由度比較，可以判斷：𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，接下來的問題，就是如何求得𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。
要往下討論之前，先回顧先前單元主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？以及為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，參閱圖片的下方系列圖示，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的，再回到原始系統：「懸臂絞車結構」系統，主要是不必進行複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」？
原始系統：「懸臂絞車結構」系統。支撐架懸臂樑的結構參數，包括：𝑳：樑的長度 (m)，𝑰 ：樑的截面慣性矩 (𝐦^𝟒)，𝑬：樑的楊氏係數 (GPa)。懸臂樑是矩形截面，所以，截面慣性矩：𝑰=(𝒃𝒉^𝟑)/𝟏𝟐。絞車線的參數，包括：𝒂：絞車線的長度 (m)，𝑨：絞車線的直徑 (m)，𝑬：絞車線的楊氏係數 (GPa)。絞車線是圓形截面，其截面積：𝑨 =(𝝅𝒅^𝟐)/𝟒。
其次，要進行「等效系統分析」，必須對原始系統做了假設(assumptions)，說明如下：
1. 吊掛物體的質量𝒎，遠大於懸臂樑、絞車及線質量，所以，懸臂樑、絞車及線的質量，可忽略，其密度 𝝆= 0。
2. 懸臂樑、絞車線會變形，是撓性體(flexible body)，也就是彈性體(elastic body)，都需要定義其𝑬：楊氏係數。
瞭解了「懸臂絞車結構」的系統參數，要進行「等效系統分析」，先回顧先前單元，參閱圖示中間上方的兩個示意圖，分別是「懸臂樑」(cantilever beam)以及「懸臂柱」(cantilever column)的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒，彙整如下：
1. 「懸臂樑」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝟑𝑬𝑰/𝑳^𝟑。
2. 「懸臂柱」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝑨𝑬/𝑳。
再觀察「懸臂絞車結構」系統，其支撐架的 𝒌𝒆𝒒，相當於一個懸臂樑的
𝒌𝒆𝒒，在此以𝒌𝒃表示，而絞車線的
𝒌𝒆𝒒，相當於「懸臂柱」的 𝒌𝒆𝒒，在此以
𝒌𝒓表示。再參閱圖示中央的兩個彈簧 𝒌𝒃 和 𝒌𝒓，是串聯彈簧質塊系統示意圖，就是原始系統：「懸臂絞車結構」的第一層次的「等效系統」。
在此要注意的是，𝒌𝒃 和
𝒌𝒓 兩個彈簧的連接點位置，就是絞車位置。系統的假設：忽略了絞車質量，如果必須考慮了絞車質量，那麼這個「等效系統」就會是個兩個自由度系統。
接下來，就分別取得𝒌𝒃 和
𝒌𝒓 兩個彈簧的「等效彈簧常數」：
1. 「懸臂樑」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒃=𝟑𝑬𝑰/𝑳^𝟑
=𝟑𝑬/𝑳^𝟑
((𝒃𝒉^𝟑)/𝟏𝟐)=(𝒃𝒉^𝟑
𝑬)/(𝟒𝑳^𝟑 )。
2. 「懸臂柱」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒓 =𝑨𝑬/𝒂=𝑬/𝒂 ((𝝅𝒅^𝟐)/𝟒)=(𝝅𝒅^𝟐
𝑬)/𝟒𝒂。
接著，因為
𝒌𝒃 和 𝒌𝒓 兩個彈簧是串聯，由先前單元「串聯彈簧」的「等效彈簧常數」，可知：𝒌𝒆𝒒 =(𝒌𝒃 𝒌𝒓)/( 𝒌𝒃+ 𝒌𝒓 )。所以，就可以取得原始系統：「懸臂絞車結構」的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒。
其次，即可帶入
𝒇𝒏 方程式，如果，已知：𝒎𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，即可求得系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。在此系統，𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，可明確求得系統的 𝒇𝒏。
最後，就是要來評估如何避免「共振」(resonance)：也就是系統的外力𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏 相等或相近時，會使得結構有大的振動。所以，結構有「共振」的現象，通常是不好的，需要去避免「共振」。反之，就沒有「共振」。
針對原始系統：「懸臂絞車結構」，其系統的外力𝒇𝒆「激振頻率」就是絞車馬達的「轉速頻率」，所以，𝒇𝒆=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎，單位：Hz。
如前述，要避免「共振」，系統的外力 𝒇𝒆「激振頻率」必須遠離系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。一般避免「共振」(resonance)的建議，採20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏。
所以，對「懸臂絞車結構」的設計，除了由結構靜力分析，分析結構的強度與安全性外，也需要考慮結構振動的動態響應設計，最基本的考慮就是：避免「共振」(resonance)。
綜合這個單元的討論，進行的是「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂柱」(cantilever column)的「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下：
1. 探討原始系統：「懸臂絞車結構」系統。
2. 進行「等效系統分析」：定義「等效系統」的單自由度「等效彈簧質塊系統」，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。過程中，有引用了「懸臂樑」和「懸臂柱」以及「串聯彈簧」的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒。
3. 分析得到「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒 以及 𝒎𝒆𝒒 「等效質量」。
4. 進而，可以推算系統的
𝒇𝒏「自然頻率」。
5. 評估「共振」(resonance)：系統的 𝒇𝒏「自然頻率」再和 𝒇𝒆「激振頻率」比較，可以評估「共振」(resonance)。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。建議採用：20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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