《振動噪音科普專欄》甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？如何應用於結構安全性評估？

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？如何應用於結構「安全性」(Safety)評估？

 

在前一個單元：#290，【如何進行結構的「安全性」評估？】，參閱圖示右上方的案例：懸臂樑受均佈壓力之靜力分析，可以得到各種類型的結構應力，包括：𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛，就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。也就是取得「結構應力」(Structural Stress)。

 

又知道，對於結構靜力分析的「安全性」(Safety)評估，首先，瞭解「安全係數」(Safety Factor)的定義：

 

𝑵_𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄 = 𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 / 𝝈_𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆
靜力安全係數 = 材料容許應力 / 結構應力 = Material Allowable Stress / Structural Stress

 

其次，甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)呢？結構會是由某種材料所製造的，每種材料有其「容許應力」，定義如下：

 

𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 = 材料容許應力 = 材料強度 /𝑵

 

如果，令「材料容許應力」(Material Allowable Stress) = 「材料強度」(Material Strength)，也就是𝑵=「安全係數」=𝟏。

 

還需要瞭解甚麼是「材料強度」(Material Strength)？必須考慮兩種材料特性，如果是「延展性材料」特徵，可以定義3種「材料強度」選項：

 

1.      𝑺𝒚𝒅 = 降伏強度Yielding Strength：在彈性變形區的最大應力值。

2.      𝑺𝒖𝒕 = 極限強度Ultimate Strength：在塑性變形區的最大應力值。

3.      𝑺𝒇𝒓 = 破壞強度Fracture Strength：材料拉伸試驗斷裂時的應力值。

 

通常，𝑺𝒚𝒅 < 𝑺𝒇𝒓 < 𝑺𝒖𝒕，所以，𝑺𝒚𝒅是最保守的選項。

 

如果是「脆性材料」，因為其抗拉與抗壓的強度，會有明顯不同，因此需要取得的「材料強度」，包括：

 

1.      𝑺𝒕 = 抗拉強度Tensile Strength

2.      𝑺𝒄 = 抗壓強度Compressive Strength

 

所以，對於結構的「安全性」(Safety)評估，需要從兩種材料特性的角度，分別進行評估：

 

1.      「延展性材料」(Ductile Material)：𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒚𝒅/𝝈𝒆𝒒𝒗 = 降伏強度 / 等效應力。

2.      「脆性材料」(Brittle Material)：𝑵𝒔𝒕=𝑺𝒕/𝝈𝟏 = 抗拉強度 / 第一主應力，而且，𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒄 / 𝝈𝟑 = 抗壓強度 / 第三主應力。

 

回顧了甚麼是「結構應力」(Structural Stress)？甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)？甚麼是「材料強度」(Material Strength)？以及甚麼是「延展性材料」(Ductile Material)？甚麼是「脆性材料」(Brittle Material)？以及兩種特性材料的結構「安全性」(Safety)評估方法，本單元著重於瞭解甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？同時，探討如何應用於結構「安全性」(Safety)評估？

 

「破壞理論」有很多種，針對「延展性材料」與「脆性材料」，常選用的兩種「破壞理論」，分述如下：

 

1.      “von Mises” Failure Theory，「麥西斯」破壞理論、或稱「畸應變能」(Distortion Stain Energy)破壞理論：適用於「延展性材料」(Ductile Material)。如果，𝝈𝒆𝒒𝒗 < 𝑺𝒚𝒅，也就是結構應力的𝝈𝒆𝒒𝒗，小於材料強度，如𝑺𝒚𝒅降伏強度是最保守的選項，則結構不會破壞。

2.      “Maximum Principal Stress” Failure Theory，「最大主應力」破壞理論：適用於「脆性材料」(Brittle Material)。如果，−𝑺𝒄 < {𝝈1,𝝈2,𝝈3 } < 𝑺𝒕，也就是結構的3個主應力，都介於𝑺𝒄 抗壓強度和𝑺𝒕抗拉強度之間，則結構不會破壞。

 

接下來，定義𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。詳細方程式，可參閱圖示，概念上，已知：結構應力，包括：𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛，就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress，就可以求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。另外，也可以由3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。

 

其次，如何求得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑呢？參閱圖示左下方，可以寫出應力矩陣 [σ]，是由𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛所組成，分析求解應力矩陣 [σ]的特徵值(eigenvalue)，即可求得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。

 

有了以上「破壞理論」的基礎知識，就可以知道，彙整於圖示右下方的安全性評估，如何分別應用兩個「破壞理論」，進而分別對「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構，進行其「安全性」(Safety)的評估方法。

 

最後，綜合本單元的討論：

 

1.      介紹了兩個「破壞理論」：(1)「麥西斯」破壞理論，以及(2)「最大主應力」破壞理論。

2.      分別應用於「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構的「安全性」(Safety)的評估。

3.      對於「延展性材料」結構：因為採用「麥西斯」破壞理論，所以，「結構應力」要取得𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。

4.      對於「脆性材料」結構：因為採用「最大主應力」破壞理論，所以，「結構應力」要取得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2022.10.17

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