這個單元要來探討的主題是：甚麼是「收斂性分析」(convergence analysis)？在採用「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)時，「收斂性分析」是一項重要的技術。
首先，以「4W」的心法，來破題、討論「收斂性分析」(convergence analysis)如下：
1.
What is? 甚麼是「收斂性分析」？
2.
Why to do? 為什麼需要進行「收斂性分析」？
3.
What goals? 進行「收斂性分析」要達到甚麼目標？
4.
How to do? 如何進行「收斂性分析」？
首先，參閱圖示右邊上方圖示順序，回顧前一個單元的案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，係以「靜力分析」方式，進行整體的分析步驟，簡述如下：
1. 定義問題：針對實際結構，在平板兩端有治具的夾持，夾持位置兩端受到往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)的作用，看起來是一個正弦波的變動外力。
2. 建構數學模型：對實際結構進行適當的分析假設，建議以【F → GBMI → R】心法思考，可以得到對應的「數學模型」(Mathematical Model)。
3. 發展有限元素模型：其次，就要建構對應的「有限元素模型」(finite element model)，由於符合結構的「對稱性」，只取1/4個平板進行分析。
4. 進行FEA軟體應用分析：可以應用CAE/FEA有限元素分析軟體進行應用分析，實現出FEA的「有限元素模型」分析構想，圖示為結構應力𝝈𝒙分佈圖，也就是x-方向正向應力分佈圖。
5. 解讀分析結果討論評估：由於採用了1/4個平板的「對稱模型」進行分析，所以，可以以映射方式，取得整體平板的應力分佈，可便於解讀此「對稱模型」應力分佈的物理意義。同時，可觀察出最大、最小應力的發生位置以及其量值大小。
當看到彩色的結構應力𝝈𝒙分佈圖，是否會懷疑這個分析結果的正確性、準確性如何呢？這就需要這個單元，所要討論的「收斂性分析」(convergence analysis)！
首先，What is? 甚麼是「收斂性分析」？最主要是：評估FEA「有限元素分析」之準確性，尤其是「有限元素模型」是層層的分析假設與FEA軟體應用分析的結果，參閱圖示中央的整體平板的應力分佈圖，討論如下：
1. 應力等高線，有尖銳角度：如圖示標註的黑色線段。
2. 應力等高線，是非平滑曲線：結構的變形應該是連續的，如果，應力等高線是非平滑曲線，代表結構呈現了不連續的應力狀態，這是不合理的現象。
由於，有【應力等高線是非平滑曲線】的不合理現象，又，圖示中個格線方塊，代表的就是每一個元素的分割狀態。又，已知元素越小，FEA「有限元素分析」之分析結果就越準。所以，為什麼需要進行「收斂性分析」呢？就是要找到適當的「元素分割」(Mesh)，使得有準確的分析結果。題外話：坊間許多人稱之為「網格」是一種以訛傳訛的說法，Mesh真實的物理意義是「元素分割」Mesh的狀態。
所以，進行「收斂性分析」要達到甚麼目標呢？就是要確保FEA分析的準確性。
至於要如何進行「收斂性分析」呢？本單元將介紹「h-收斂性分析」(h-convergence)，其中，h代表元素大小的變數符號。以步驟4下方的分析模型圖示，可觀察到：在靠近圓孔附近的「元素分割」尺寸較小，遠離應力集中區域的「元素分割」尺寸較大，這是合理的「元素分割」(Mesh)原則。
如何進行「h-收斂性分析」呢？參閱圖示下方，有5個不同元素尺寸的「有限元素模型」之分析結果，由右至左，係由「粗分割」(coarse mesh)、逐漸「細分割」(refined mesh)，每一個「細分割」分別是初始模型之元素尺寸的1/2、1/3、1/4、1/5，圖中分別標示了最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之發生位置及量值，不同「元素分割」的最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧值，也彙整如中間表格。觀察的現象，討論如下：
1. 最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之發生位置，都在圓孔的正上方。顯示各個「細分割」模型的合理性。
2. 在最左邊的圖示，「元素分割」尺寸最小，可以觀察：所有的應力等高線都是平滑曲線，所以，沒有結構的不連續應力分布狀態，是合理、良好的物理現象。
3. 參閱表格的𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧數值比較，「細分割」與「粗分割」的「有限元素模型」，其分析結果的相對誤差，都在0.3 %以下。在模型5和4的比較，誤差最小是0.041%。這是合理的「h-收斂性分析」結果。
對這個案例來說，最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧值，在不同「元素分割」尺寸的分析結果，很相近。不過，可以觀察模型5的應力等高線，在對稱邊界上，呈現鉛錘的直角現象，在鏡像映射後，可以得到平滑曲線，所以模型5，可以說是進行「h-收斂性分析」後，確認的、適當的「元素分割」(Mesh)。
另外，簡要地以最小應力數值來看，與所受到的壓應力，比值大約等於3，可以看出有「應力集中」(stress concentration)現象。更明確的「應力集中係數/因子」(stress concentration factor)定義，我們另闢單元討論。
最後，綜合一下這個單元有關「收斂性分析」(convergence analysis)的討論，是以「4W」的心法來討論：
1.
What is? 甚麼是「收斂性分析」？
2.
Why to do? 為什麼需要進行「收斂性分析」？
3.
What goals? 進行「收斂性分析」要達到甚麼目標？
4.
How to do? 如何進行「收斂性分析」？
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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