這個單元是「響鈴板」系列的第4篇，要來看的主題是：如何解讀「響鈴板」的「振動模態」(modes of vibration)？
首先，由破題來看，關鍵詞：如何解讀(How to interpret)？「響鈴板」(bell plate)？「振動模態」(modes of vibration)？
甚麼是「響鈴板」(bell plate)？可以參考圖示中央的照片，來自2003年的論文：Lavan, D., Hogg, S. and Wolfe, J., “Why
do bell plate ring?,” Acoustics Australia, 31, No. 2–1, (2003)。圖示的「響鈴板」看起來是有握柄，當搖晃握柄，會帶動打擊槌敲擊在「響鈴板」上，進而發出「響鈴板」的敲擊聲音，該篇論文有呈現說明「響鈴板」為什麼會發出聲音的物理機制。
「響鈴板」系列的整體目標，是要探討如何設計製作出整組的「響鈴板」打擊樂器，所以就要來看「響鈴板」的「振動模態」。
「振動模態」包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)：
1.
「自然頻率」(natural frequency)
2.
「模態振型」(mode shape)
3.
「模態阻尼比」(modal damping ratio)
每一個結構都有其「振動模態」，會有無窮多個「振動模態」，每一個「振動模態」都有3個「模態參數」，他們是成對的(in pair)，也就是一對一的對應關係。對振動響應來說，比較重要的是「自然頻率」比較小的前面數個模態。
如何得到如「響鈴板」結構的「振動模態」呢？可以透過FEA分析或EMA實驗方式，取得結構的「振動模態」或「模態參數」，也就是：FEA「有限元素分析」(finite element analysis)或EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis)。
由FEA「有限元素分析」，建構了如圖示右二的「響鈴板」之「有限元素分析模型」，以進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，要注意，在此所採用的是「實數模態分析」(real mode analysis)，所以，只可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」。
參閱圖示左側，顯示了FEA分析所得到「響鈴板」結構的「自然頻率」和「模態振型」，簡要說明如下：
1. 「自然頻率」由小到大，依次排序，從F07、F08、…到F15，在5000 Hz以下，共有9個「振動模態」。
2. 每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。
3. F01、F02、…到F06，前6個「振動模態」，因為「響鈴板」是在「自由邊界」(free boundary)，所以，有6個「剛體模態」(rigid body modes)，其「自然頻率」都為0。此「剛體模態」與「響鈴板」的打擊聲音無關，沒有呈現這些「剛體模態」。
4. F07、F08、…到F15，甚至更高「自然頻率」的「振動模態」，「響鈴板」結構有撓性變形，所以稱為「撓性體模態」(flexible body modes)，也可稱為「彈性體模態」(elastic body modes)。這些「彈性體模態」會和「響鈴板」的打擊聲音相關。
另外，也可以透過實驗的方式，也就是EMA，對「響鈴板」實體結構進行量測分析，可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」，更重要的是，可以得到每個「振動模態」的「模態阻尼比」。
參閱圖示右側，顯示了EMA分析所得到「響鈴板」結構的「自然頻率」和「模態振型」，以及「模態阻尼比」總表，簡要說明如下：
1. 「自然頻率」由小到大，依次排序，從E01、E02、…到E09，在5000 Hz以下，共有9個「振動模態」。
2. 每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。可以觀察EMA和FEA的「模態振型」有相互對應。
這個單元的重點，是要解讀「響鈴板」結構的「振動模態」，3個重要的「模態參數」說明如下：
1.
「自然頻率」(natural frequency)：由小到大，依次排序，從F07、F08、…到F15，在5000 Hz以下，共有9個「振動模態」。
2.
「模態振型」(mode shape)：每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。而每個「模態振型」都有不同的變形狀態，這就是本單元後續要討論的重點。
3.
「模態阻尼比」(modal damping ratio)：每個「振動模態」都有其對應的「模態阻尼比」，「阻尼比」的概念呢？當「阻尼比」越大，結構的振動響應，就衰減的越快；反之，「阻尼比」越小，結構的振動響應，就衰減的越慢。必須以實驗方式，如EMA，才可求得結構的「模態阻尼比」。
接下來，就深入探討「響鈴板」結構的「模態振型」之物理意義，由於「響鈴板」是近似五角形的本壘板形狀，在此借用解讀「矩形平板」結構「模態振型」的方式，以座標軸(x,y)方向來解釋說明：
1. 「節線」(nodal line)：每個「模態振型」的變形，觀看動畫或圖片，可以辨識出有不動的位置，此不動點可以連成線，如圖示標註的黃色線段，稱之為「節線」。
2. 「敲擊點」(striking location)：對此「響鈴板」預定敲擊的位置，如圖示是在左右兩側對稱的中心線上，而上下位置大約在1/4處。
3. 「模態振型」的物理意義(x,y)：當(x,y)=
(3,1)，在x方向，分成3等份，在y方向為1等份。當(x,y)= (1,3)，在x方向，為1等份，在y方向為3等份。餘此類推，可解讀如：(x,y)= (2,2)，(x,y)=
(2,3)等之「模態振型」。讀者可以由影片動畫或圖片解讀出各個「模態振型」的變形狀態。
4. 會發聲的「振動模態」：由於「敲擊點」在左右兩側對稱的中心線上，所以x= 2的「振動模態」，其「模態振型」在「敲擊點」位置，剛好是在「節線」上，所以敲擊時，不會激發出x= 2的「振動模態」。反過來說，當「敲擊點」位置，在「振動模態」的「模態振型」之最大響應位置，可稱為「反節點」(anti-node)，就會激發出該「振動模態」的「自然頻率」。參閱圖示，可以看出(x,y)= (3,1)，(x,y)=
(1,4)，(x,y)= (3,4)，(x,y)=
(5,4)等藍色框線的「模態振型」，「敲擊點」位置都不是這些「模態振型」的「節點」(nodal point)，所以能夠有效激發其「自然頻率」，也就是「發聲頻率」。
綜合一下這個單元的討論，主要重點是要解讀「響鈴板」結構的「振動模態」，總結如下：
1. 「響鈴板」結構的「振動模態」：包括3個重要的「模態參數」：「自然頻率」(natural frequency)、「模態振型」(mode shape)及「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
2. 求得「響鈴板」結構「振動模態」的方法：包括，(1) FEA「有限元素分析」(finite element analysis)，或(2) EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis)。在此，FEA的「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，採用的是「實數模態分析」(real mode analysis)，所以，只可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」。而，EMA除了可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」，更重要的是，可以得到每個「振動模態」的「模態阻尼比」。
3. 「節線」(nodal line)：透過解讀「矩形平板」結構「模態振型」的方式，以座標軸(x,y)來解讀「模態振型」的物理意義。例如：(x,y)= (3,1)，(x,y)=
(1,4)，(x,y)= (3,4)，(x,y)=
(5,4)等。
4. 「敲擊點」(striking location)：對此「響鈴板」預定敲擊的位置，如圖示是在左右兩側對稱的中心線上，而上下位置大約在1/4處。當「敲擊點」位置，剛好是在「模態振型」的「節線」上，也就是「節點」，就不會激發出該「振動模態」的「自然頻率」。
5. 會發聲的「振動模態」：當「敲擊點」是在「模態振型」的非「節點」位置，就會激發出該「振動模態」的「自然頻率」，就是所聽到的「發聲頻率」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.12.07
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