這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第4篇，要來探討的主題是：如何應用「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)？
首先，快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
當這個正弦波的「簡諧外力」，作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出，有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」，可以寫出位移響應方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
特別有興趣的是「位移振幅」𝑿 和「相位角」𝝓。為了有效率的全盤了解「穩態位移響應」的特性，所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇)：
1.
𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。
2.
𝑯(𝒇) =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
3.
𝑯(𝒇) =「穩態位移振幅」/「外力振幅」。
這樣，可以快速知道𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)的關係。又，因為不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
針對「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，會和「系統參數」：m、c、k相關，也會隨著不同的「激振頻率」𝒇，而會有不同的𝑯(𝒇)。
這個單元要來探討如何應用這個「頻率響應函數」(FRF)？
首先，由FRF定義：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)，可以推導出來，𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇)
𝑯(𝒇)。也就是說，如果知道系統的m、c、k，就可以求得「頻率響應函數」𝑯(𝒇)，當已知「簡諧外力」的「外力振幅」𝑭，以及其「激振頻率」𝒇，就可以透過上面的方程式，推算出「穩態位移響應」𝑿(𝒇)，包括：「位移振幅」𝑿和「相位角」𝝓。
接下來，舉一個實際數值案例做探討，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，繪製FRF的數值案例。可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 = 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
在此，設定「簡諧外力」的「外力振幅」𝑭
= 0.2
(N)，有不同的「激振頻率」𝒇，分別令：𝒇 = 0.6 (Hz)、1.0
(Hz)、1.4 (Hz)。也就是𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏，𝒇 <𝒇𝒏，即「激振頻率」小於「自然頻率」；𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，即「激振頻率」等於「自然頻率」；𝒇=1.4𝒇𝒏，𝒇 >𝒇𝒏，即「激振頻率」大於「自然頻率」。
同時，兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0。在此，都假設為0，也就是：𝒙(𝟎)=𝒙𝟎
= 0 (m)，𝒙 ̇(𝟎)=𝒗𝟎 = 0 (m/s)。
在先前單元：#209，【SDOF簡諧激振系列(3)：不同簡諧激振頻率，對振動響應有甚麼影響？】，有介紹過「簡諧激振」的「暫態響應分析」，參閱圖示右邊的三個圖示，分別是𝒇 = 0.6 (Hz)、1.0
(Hz)、1.4 (Hz)，所對應的時間域響應。
圖示中央的兩個圖，分別是FRF的「振幅」(amplitude)圖、及「相位角」(phase angle)圖，係由已知的系統參數m、c、k，所繪製的FRF。水平軸就是系統的「激振頻率」𝒇。
怎麼應用這兩個FRF的圖示呢？簡要的計算與說明如下：
𝒇=0.6 (Hz)：由前述已知：𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇)
𝑯(𝒇)，帶入𝒇=0.6 (Hz)，查閱FRF的「振幅」(amplitude)圖，得到：𝑯(𝒇=𝟎.𝟔)= (𝟎.𝟎𝟑𝟗𝟏𝟓) (m/N)。已知：𝑭(𝒇=𝟎.𝟔)= (𝟎.𝟐) (N)。所以，𝑿(𝒇=𝟎.𝟔)= 𝑭(𝒇=𝟎.𝟔)x𝑯(𝒇=𝟎.𝟔)= (𝟎.𝟐)(𝟎.𝟎𝟑𝟗𝟏𝟓) = 𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟖𝟑 (𝐦)，此數值，和「暫態響應分析」所觀察到的「穩態位移響應」𝒙(𝒕)的振幅值，是相同的。
如果，要由「暫態響應分析」的「穩態位移響應」𝒙(𝒕)觀察「相位角」，必須和𝒇(𝒕)比較觀察，相當辛苦。但是在這裡，帶入𝒇=0.6 (Hz)，查閱FRF的「相位角」(phase angle)圖，得到：𝝓(𝒇=𝟎.𝟔) = (−𝟖.𝟒𝟖°)，也就是幾乎「同相」(in-phase)。
由以上範例解釋，可以知道，取得「頻率響應函數」(FRF)的優點：可以快速的求得及理解系統受到「簡諧激振」的「穩態位移響應」之狀態。
同樣道理，參閱圖示，有其他兩個數值計算案例的說明，分別是：𝒇 = 1.0 (Hz)，也就是𝒇=1.0𝒇𝒏，以及
𝒇 = 1.4 (Hz)，也就是𝒇=1.4𝒇𝒏，也是同樣的計算方式。可以快速的知道系統的「穩態位移響應」，包括：「位移振幅」𝑿及「相位角」𝝓。
另外，由「頻率響應函數」(FRF)，還可以觀察到甚麼呢？就是判斷是否有「共振激振」(resonant excitation)的現象，如果有「簡諧激振」，其「激振頻率」很接近「自然頻率」，那麼就會造成「共振」(resonance)，會有大的振動響應。
要如何避免「共振」呢？當然，就是讓「激振頻率」遠離結構的「自然頻率」，建議：以「20%」原則，也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏，或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏，由「振幅」圖的觀察，可以知道在遠離結構「自然頻率」的簡諧激振，其位移響應是相對的小很多。
所以，當我們在進行結構的設計分析時，如果能夠得到結構系統的「頻率響應函數」(FRF)，也知道結構系統的「激振頻率」，通常就是機器的「轉速頻率」，就可以依照FRF顯示的資訊，據以探討避免「共振」的設計分析。
綜合這個單元的探討，綜合如下：
1. 已知SDOF「單自由度系統」的FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。只要知道系統的m、c、k，就可以求得「頻率響應函數」𝑯(𝒇)。
2. 同時，可以推導得到：𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇)
𝑯(𝒇)。
3. 可以繪製：「頻率響應函數」𝑯(𝒇)的「振幅」(amplitude)圖，以及「相位角」(phase angle)圖，藉由前項的方程式，當已知𝑭(𝒇)，就可以推算得到系統的「穩態位移響應」，包括：「位移振幅」𝑿及「相位角」𝝓。
4. 另外，也可以由「頻率響應函數」𝑯(𝒇)的「振幅」(amplitude)圖，判斷是否有「共振激振」(resonant excitation)的現象？
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.05.08
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