這個單元是SDOF簡諧激振系列的第7篇，要來探討的主題是：不同「簡諧外力振幅」，對振動響應有甚麼影響？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
以下舉實際的數值案例，進行分析，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 = 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇。𝑭 =「簡諧外力振幅」，𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
這個單元的重點在探討：在「簡諧外力」激振下，不同「簡諧外力振幅」，對振動響應會有甚麼影響？
在此，令「簡諧外力振幅」分別為 𝑭 = 0.2 (N)、𝑭 = 2 (N)。也探討不同「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇 之影響，分別令：𝒇 = 0.6 (Hz) =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏，也就是「非共振激振」(non-resonant excitation)的狀態，𝒇≠𝒇𝒏。以及𝒇 = 1.0 (Hz) =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏，就是「共振激振」(resonant excitation)的狀態，𝒇 = 𝒇𝒏。
再定義系統的「輸入參數」，也就是兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。在此，都假設為0，也就是：𝒙𝟎
= 0 (m)，𝒗𝟎 = 0 (m/s)。
在先前的SDOF簡諧激振系列單元，已經知道當系統受到「簡諧外力」激振，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，參閱右上角圖示，可以區別出「暫態響應」(transient state response)區間，以及「穩態響應」(steady state response)區間，而特別有興趣的是，在「穩態響應」區間，也會是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中：
1. 𝑿，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」：「位移振幅」的大小取決於「系統參數」：m、c、k，以及「輸入參數」：「簡諧外力」𝒇(𝒕) 的「簡諧外力振幅」𝑭，以及「激振頻率」𝒇。
2. 𝒇，「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」：會等於「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓，「穩態簡諧響應」的「相位角」：「相位角」取決於「簡諧外力」𝒇(𝒕) 的「激振頻率」𝒇，特別是𝒇<𝒇𝒏、𝒇=𝒇𝒏 或 𝒇>𝒇𝒏的狀態。可參閱單元#???：【SDOF簡諧激振系列(3)：不同簡諧激振頻率，對振動響應有甚麼影響？】。
接下來，就針對不同「簡諧外力振幅」𝑭，來探討對振動響應會有甚麼影響？
首先，觀察「非共振激振」，𝒇
= 0.6 (Hz) =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏，如右邊中間圖示，分別說明如下：
1. 當𝑭=0.2 (N)時：其「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿=0.008 (m)。由𝒇(𝒕)及𝒙(𝒕)對照比較，可以知道𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「同相」(in-phase)。
2. 當𝑭=2 (N)時：其「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿=0.08 (m)。由𝒇(𝒕)及𝒙(𝒕)對照比較，和𝑭=0.2 (N)時的響應特徵相同，只是「位移振幅」𝑿增大了10倍，因為，「簡諧外力振幅」𝑭也增加10倍。
所以可以推論：當「簡諧外力振幅」𝑭增加，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿也會等比例的增大。
其次，觀察「共振激振」，𝒇
= 1.0 (Hz) =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏，如右邊下方圖示，分別說明如下：
1. 當𝑭=0.2 (N)時：其「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿=0.03 (m)。由𝒇(𝒕)及𝒙(𝒕)對照比較，可以知道𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」(90° out-of-phase)。同時，發現「共振激振」時，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿=0.03 (m)，比前述「非共振激振」的𝑿=0.008 (m)大了許多，這也說明了「共振激振」會使得結構振動大，應該要避免「共振」(resonance)。
2. 當𝑭=2 (N)時：其「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿=0.3 (m)。由𝒇(𝒕)及𝒙(𝒕)對照比較，和𝑭=0.2 (N)時的響應特徵相同，只是「位移振幅」𝑿增大了10倍，因為，「簡諧外力振幅」𝑭也增加10倍。
所以可以擴充推論：不論是「非共振激振」或「共振激振」，在相同條件下的「簡諧激振」，當「簡諧外力振幅」𝑭增大，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿也會等比例的增大。
到這裡，統整一下本單元的討論，主要探討的主題是：在「簡諧外力」激振下，不同「簡諧外力振幅」，對振動響應會有甚麼影響？最重要的當然就是，質塊位移響應𝒙(𝒕)的「穩態簡諧響應」，綜合本單元的討論如下：
1. 假設了兩個不同「簡諧外力振幅」，𝑭=0.2 (N) 和 𝑭=2 (N)，相差了10倍。同時，分別施予「非共振激振」(non-resonant excitation)的狀態，𝒇≠𝒇𝒏。以及「共振激振」(resonant excitation)的狀態，𝒇=𝒇𝒏。
2. 不論是「非共振激振」或「共振激振」，在相同條件下的「簡諧激振」，當「簡諧外力振幅」𝑭增大10倍，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿也會等比例的增大10倍。
3. 在「共振激振」時，「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿，比在「非共振激振」時，大了許多，這也說明了「共振激振」會使得結構振動大，應該要避免「共振」(resonance)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.04.03
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