這個單元要來看的主題是：甚麼是「簡諧激振」(harmonic excitation)？這個「SDOF簡諧激振」系列，將以如圖示的「外力激振」(force excitation)的「單自由度系統」(single degree-of-freedom, SDOF, system)做說明。
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考中間上方的圖示，是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
「單自由度系統」的回顧到這裡，再回到本單元的主題：甚麼是「簡諧激振」(harmonic excitation)？首先，要知道甚麼是「簡諧函數」(harmonic function)，可以有以下三種形式：
1. 正弦函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，參閱右邊中間圖示，就是典型的正弦函數之時間波形，可以觀察到，𝑭
就是「簡諧外力振幅」(harmonic force amplitude)，而 𝒇
就是此「簡諧外力」的「激振頻率」(excitation frequency)。
2. 餘弦函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝒕)，本質上和正弦函數是相同的，只是有90度相位角差。
3. 複數形式的指數函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕=𝑭[𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)+𝒊𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)]，由尤拉公式(Euler formula)，𝒆^𝒊𝝎𝒕
可以解析為：餘弦函數 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 和正弦函數
𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的組合。
所以，如果外力是以上三種的「簡諧函數」，就稱之為「簡諧激振」。
接下來，就來觀察「SDOF單自由度系統」受到如右邊圖示正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的「簡諧激振」時，質塊位移響應特徵。
由中間下方的動畫，以及𝒙(𝒕)示意圖，可以觀察到：在初期，𝒙(𝒕)會有漂移運動的不穩定現象，而長時間後，呈現穩定的現象。而
𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)，可以解剖出兩個效應：
1. 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)：自由振動響應，來自兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用。在時間初期，由於「初始位移」以及「初始速度」，使得質塊會有明顯的漂移運動，一段時間後，因為有阻尼的衰減效應，此自由振動響應會消失。
2. 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：外力激振響應，係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用，其中，IRF係指「脈衝響應函數」(impulse response function, IRF)，其解析理念，再另闢單元討論。在此，當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應，會持續的存在。
統整一下這個單元的討論：甚麼是「簡諧激振」(harmonic excitation)？
1. 「簡諧函數」：有三種類型，包括：𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)、𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)、及𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕。如果，外力是「簡諧函數」，就稱為「簡諧激振」。
2. 「SDOF單自由度系統」受到正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的「簡諧激振」時，質塊位移響應特徵，在初期，會有漂移運動的不穩定現象，而長時間後，呈現穩定的現象。
3. 質塊位移響應特徵，可以解剖出兩個效應：(1) 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)：自由振動響應，以及(2) 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：外力激振響應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.03.31
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