《振動噪音科普專欄》「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析


這個單元的主題:「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析,解剖下來有兩個問題,甚麼是外力激振單自由度系統以及「甚麼是振動分析

首先,來回顧一下甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」,參閱先前單元:【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」?】,簡要說明如下:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的質塊彈簧之實體結構」。以一個質塊」安置在「彈簧」的上方,而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
2.      數學模型:對此「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model)。其中,「系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。「輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。
3.      運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

接下來,要對此「外力激振」的「單自由度系統」進行振動分析」,可以藉由4W的思考想一下「振動分析」:

1.      What is?甚麼是「振動分析」?
2.      Why to do?為什麼要進行「振動分析」?
3.      What to get/know?:進行「振動分析」可以得到/知道甚麼
4.      How to do?如何進行「振動分析」?

接著,甚麼是「振動分析」?一個結構的「振動」「分析」,就是透過理論或實驗方法進行「分析」,以瞭解結構的「振動」現象、行為、特徵及影響。

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

接下來,針對此「外力激振」的「單自由度系統」之四種「振動分析類型」分別進一步討論:

1.      模態分析(modal analysis):主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此單自由度系統的「模態參數」為:「自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5,「阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以H(ω)代表,其物理意義是:結構受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅F,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,其「位移振幅X,所以H(ω)是輸出的「位移振幅X除以輸入的「外力振幅FH(ω)=X/F,完整的表示式參閱圖示,可以觀察和「系統參數」:mck,及「激振頻率」:ω=2πf相關。典型的單自由度系統」之頻率響應函數H(ω)的振幅圖,如圖示,其特性再另闢單元討論。
3.      暫態響應分析(transient response analysis):主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(t),以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。可以求得「輸出」是x(t),為系統質塊的位移「時間域響應」。
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,如圖示的「隨機外力f(t),若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」,雖然可行,但是不容易解析、也曠日廢時,所以會將「隨機外力f(t),進行FFT(快速傅立業轉換)甚麼是頻譜分析?】,求得「隨機外力」的「自身功率頻譜Gff(f),透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應Gxx(f),也就是位移的「功率頻譜密度函數」。對Gxx(f)取積分、開根號,可以求得位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小,可達到分析目的。

最後,統整一下本單元介紹的四種「振動分析類型」,總結說明如下:

1.      模態分析(modal analysis):主要在求得結構的「系統」資訊,也就是「模態參數(modal parameters),包括:「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ。所以,「模態分析」是一種「系統分析(system analysis),在求得結構系統的「模態域參數」。
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):也是一種「系統分析」,在求得結構系統的「頻率域參數」,是求得輸出與輸入之間的FRF。主要在得到結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF) H(ω) =X/F,其物理意義是:輸出的「位移振幅X除以輸入的「外力振幅FH(ω)=X/F。其中,ω=2πf為「簡諧激振」的「激振頻率」。
3.      暫態響應分析(transient response analysis):可以說是R-analysis響應分析(response analysis),在求得系統的「輸出響應(output response)。主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(t),以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。可以求得「輸出」是x(t),為系統質塊的位移「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):也是R-analysis響應分析(response analysis),在求得系統的「頻率域輸出響應(output response)。會採用「頻譜響應分析」,主要應用在結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,將「時間域」之隨機外力f(t),透過”FFT”轉換到「頻率域」進行求解,取得系統輸出的位移「功率頻譜密度函數」,進而可求得位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小。

本單元,以「外力激振」的「單自由度系統」為例,探討了典型的四種「振動分析類型」,包括:模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。也由4W的思考:What is? Why to do?What to get? What to know?How to do?,引導說明與討論四種「振動分析類型,希望讀者能對「振動分析」有進一步的瞭解。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.14

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