《振動噪音科普專欄》典型的Window視窗加權函數有哪些？

在進行信號的頻譜分析，常會提到「window」視窗加權函數，那麼甚麼是window function「視窗函數」、weighting function「加權函數」？有哪些種「視窗加權函數」可以選用，在頻譜分析中，扮演怎樣的角色？這個單元就來介紹有哪些種「視窗加權函數」。

首先，由圖1是先前單元【頻譜分析儀如何處理量測信號？】：介紹了「頻譜分析儀」處理量測信號的功能及其動作原理，包括：反假象濾波器(anti-aliasing filter, AA filter)、類比數位轉換器(A/D converter, analog-to-digital converter)、視窗/加權函數(window/weighting function)、快速傅立葉轉換(FFT, fast Fourier transform)。

在對一個信號做FFT的頻譜分析，其中，第4個步驟就有weighting (window)的處理，簡單的說：「視窗加權函數」是在解決「洩漏」(leakage)的問題。而【甚麼是洩漏(leakage)？】呢？

1.      洩漏的現象：在信號的頻譜圖，其頻率的振幅，有不正確的分析結果。

2.      洩漏的原因：是信號的頻率f，與FFT的分析參數：頻率解析度Δf，沒有能夠整除。因為f/Δf≠整數，所以，就沒有能夠完全正確的解析信號的頻率f，連帶也不能正確解析信號的振幅X。

3.      洩漏的解決方法：需要使用「視窗函數」(window function)、或稱「加權函數」(weighting function)，能夠降低「洩漏」之影響。

參閱圖2顯示常見的5種window視窗函數的方程式及其圖示。如果，時間域的「原始信號」為x(t)，「加權函數」為w(t)，「加權後的信號」xw(t)，可以寫成：xw(t)=x(t)*w(t)，也就是在一個time frame中，每個時間點對應相乘。這個time frame，是指欲進行FFT的信號之「時間區間」，或稱為「總取樣時間」，可參閱：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。

參閱圖2，有5種window「視窗加權函數」w(t)的特徵，以及以一個正弦波「原始信號」x(t)為例，取得「加權後的信號」xw(t)之說明如下：

1.      Rectangle (boxcar) window矩形視窗加權函數：在一個time frame，Rectangle window數值都是1，也就是相當於沒有加權的效果。所以，可以看出x(t)與xw(t)是完全相同的信號。適用在沒有洩漏(leakage)的信號。在實務上，如果是隨機信號，幾乎都會有洩漏，因為信號的頻率組成是隨機的、任意的頻率，所以，都會有洩漏的現象。因此，隨機信號是不會採用Rectangle window。

2.      Hanning window漢寧視窗加權函數：在一個time frame，Hanning window呈現接近一個半正弦波的特性，「加權後的信號」xw(t)，可以看出兩端的數值都為零，使得起始點與終點的數值相同，可以降低洩漏(leakage)的效應。Hanning window常用於隨機信號的頻譜分析，可以得到不錯的頻率解析及其振幅解析。

3.      Kaiser-Bessel window開氏貝索視窗加權函數：Kaiser-Bessel window與Hanning window的作用效果相近，可以看出w(t) 「加權函數」有差異，不過Kaiser-Bessel時間域波形與Hanning相近。因此，以Kaiser-Bessel「加權後的信號」xw(t)，與Hanning window相似，所以沒有呈現。Kaiser-Bessel window，在頻率解析略遜於Hanning window，不過頻率對應的振幅解析略優於Hanning window，同樣也都可以適用於隨機信號的頻譜分析。

4.      Flat-top window平頂視窗加權函數：Flat-top window對於頻率解析度，在以上這4種window來說，是最不好的一種。但是，在頻率對應振幅的解析是最優的，甚至可以得到幾乎完全正確的振幅。因此，對於標準振動源的加速度規校正、或是標準音源的麥克風校正，非常有用。當進行加速度規及麥克風校正時，因為標準振動源及音源都是單一頻率信號，又因為是要校正信號的振幅值，所以，建議採用Flat-top window，可以有較精準的振幅解析。讀者可參考：【如何進行「加速規」校正？】、【如何進行「麥克風」校正？】。

5.      Exponential window指數視窗加權函數：Exponential window的加權函數，係由σ「衰減率」(decay rate)控制，或是由τ「時間常數」(time constant)為「衰減率」的倒數來設定其指數視窗加權函數w(t)的波形。對於「衰減型的信號」，特別是傳統實驗模態分析，採用衝擊鎚敲擊結構，以加速度規量測結構響應，量測到的加速度信號會是「指數衰減」(exponential decay)的特性。如果在一個time frame的時間區間，信號沒有衰減到零，這時，就需要在加速度響應，施予Exponential window，可以降低時間域信號的truncation error「截斷誤差」影響，以免頻譜會有「柵欄效應」(fence effect)的產生。相關討論，可參閱：【Window effect on decay signal for FFT】、【Window effect on decay signal for FFT (2)】。

在FFT頻譜分析時，綜合一下以上對window視窗加權函數的探討：

1.      在FFT頻譜分析，需要選用適當的window視窗加權函數，主要在降低洩漏(leakage)的效應。

2.      在FFT頻譜分析時，若是著重於頻率解析，不同window的優先選序：Rectangle、Hanning、Kaiser-Bessel、Flat top。

3.      在FFT頻譜分析時，若是著重於頻率的振幅解析，不同window的優先選序：Flat top、Kaiser-Bessel、Hanning、Rectangle。

4.      如果是對一個隨機信號的FFT頻譜分析，一般而言，是希望了解隨機信號的頻率組成(frequency content)，也希望能得到好的振幅解析。因此，選用Hanning或Kaiser-Bessel都適當。如前述，Hanning的頻率解析略優於Kaiser-Bessel；Kaiser-Bessel的振幅解析略優於Hanning。普遍來說，對於隨機信號的FFT，最常用的選擇是Hanning window。

5.      如果是對一個單一頻率的信號，進行FFT頻譜分析，又希望對該信號有精準的振幅解析，最常見的這種狀況，就是加速度規及麥克風的校正，此時，由於是要求振幅的精準度，所以應該選用Flat top window。

6.      如果要對一個具有指數衰減特徵的信號，進行FFT頻譜分析，又如果該衰減信號，在一個time frame，還沒有衰減到接近零，這時，需要使用Exponential window，使得加權後的信號xw(t)，能夠強迫衰減到接近零，如此，方可降低時間域信號的「截斷誤差」(truncation error)，所造成的頻譜「柵欄效應」(fence effect)之現象。

本單元介紹了「window」視窗加權函數的特性及其選用的原則，對於FFT頻譜分析的信號處理過程是重要的步驟之一。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「window」的基本理念。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.04.18

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圖1、先前單元【頻譜分析儀如何處理量測信號？】

圖2、常見的5種window視窗函數的方程式及其圖示