工程師對一個結構進行了理論模態分析(theoretical modal
analysis)，可以求解得到結構的「自然頻率」(natural frequency)以及對應的「模態振型」(mode shape)。如何解讀結構「模態振型」的物理意義呢？本文針對「自由邊界」圓形平板結構「模態振型」之物理意義解讀方式作個介紹。
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甚麼是「自由邊界」(free
boundary)呢？也就是結構體完全是懸空的狀態，例如在太空中的衛星、空中的飛機，就是屬於「自由邊界」的結構。在地面上，就很難會有真正的「自由邊界」狀態的結構體。
在實務上，常會以懸吊方式，將結構吊掛起來，模擬接近「自由邊界」的狀態，以進行結構的實驗模態分析，這樣的實驗有助於釐清分析模型在排除「邊界效應」的影響，也就是分析模型在「模型驗證」(model
verification)的重要工作，有關「模型驗證」我們再另闢單元討論。
在先前的單元談過與振動模態相關的單元：【模態振型(mode shape)如何解讀？物理意義？】、【典型矩形平板模態振型之解讀】、【甚麼是結構的振動模態？】，【如何解讀典型圓形平板的模態振型？】，讀者可以先瀏覽以溫故知新。
結構的振動模態(vibration
modes)，包括：自然頻率(natural
frequency)、模態振型(mode
shape)、及模態阻尼比(modal
damping ratio)。此三個參數稱為模態參數(modal
parameters)，振動模態是系統的特性，我們可以由理論分析、數值解析求得結構的「理論模態參數」；也可以由實驗方法，以「實驗模態分析」，求得「實際結構的模態參數」，可參考先前單元：【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】。
如圖示，是一個四週為「自由邊界」的圓形平板結構，進行「理論模態分析」所求得的「自然頻率」以及對應的「模態振型」，對於「自由邊界」的結構振動模態，可以區別兩種特性：
1.
剛體模態(rigid body mode)：對於「自由邊界」結構的剛體模態，其自然頻率理論上都為0 Hz。
2.
彈性體模態(elastic body mode)、或稱撓性體模態(flexible body mode)：此振動模態顧名思義，就是結構體本身變形的模態特性。任意結構的彈性體模態，會有無限多個自然頻率及其對應的模態振型。
【結構的剛體模態】又可以由振動型態的物理意義，區分為：
1.
三個平移模態(translational mode)：分別是x、y、z 三個方向的平移剛體模態。
2.
三個旋轉模態(rotational mode)：分別是x、y、z 三個方向的旋轉剛體模態。
此四週自由邊界圓形平板【結構的彈性體模態】，依照頻率大小編號由7開始，因為有6個剛體模態，這些模態振型的彩色的圖示、甚至動畫，是不是有眼花撩亂的感覺？不過，還是需要有系統化的解讀。
先前單元：【如何解讀典型圓形平板的模態振型？】，已經介紹過圓形平板的模態振型解讀，可以由(r, θ)=(0,0)、(r, θ)=(1,0)、(r, θ)=(2,0)、(r, θ)=(0,1)、(r, θ)=(0,2)、(r, θ)=(0,3)等方式來標示。看到如(r, θ)=(1,2)，就可以知道是沿著半徑方向，有一圈的節線，而沿著圓週方向，有兩條節線。
從圖示，可以得知四週自由邊界的圓形平板結構的彈性體模態(elastic body
mode)，包括：「自然頻率」以及對應的「模態振型」，可區別如下：
1.
軸對稱模態(axisymmetric mode)：由於是圓形的軸對稱結構，振動模態會有軸對稱的模態，如第7及第8個模態，自然頻率都是18.18Hz；其他如10/11、12/13、14/15、16/17、18/19都是倆倆的軸對稱模態。特徵是自然頻率相同；模態振型的物理意義相同，但是有90度相位角的差異。此軸對稱模態的共同特徵是，(r, θ)的模態振型物理意義，圓週方向都有節線出現，所以θ不為0。
2.
非軸對稱模態(non-axisymmetric mode)：在這彈性體振動模態中，也有2個模態是非軸對稱模態，分別是：第9個自然頻率是30.55Hz，(r, θ)=(1,0)；第20個自然頻率是130.44Hz，(r, θ)=(2,0)。此非軸對稱模態的共同特徵是，(r, θ)的模態振型物理意義，圓週方向都沒有節線出現，所以θ為0。
在此四週自由邊界圓形平板【結構的彈性體模態】，若與圖2的四週固定邊界圓形平板做比較，在四週自由邊界時，少了(r, θ)=(0,0) 及 (r, θ)=(0,1)兩個模態，當然，就是因為自由邊界效應。
本篇有關四週自由邊界圓形平板的振動模態，重點整理如下：
1.
因為結構是四週自由邊界，結構振動模態會呈現兩種形式：(1)剛體模態，(2)彈性體模態。
2.
此四週自由邊界結構之剛體模態有6個，其模態振型的物理意義分別是：3個平移剛體模態、以及3個旋轉剛體模態。而此6個剛體模態的自然頻率，理論上，都為0Hz。
3.
此四週自由邊界結構之彈性體模態，從第7個模態開始，理論上，有無限多個模態數量。實務應用上，會視應用場合的頻率範圍，求得適當的振動模態數量。
4.
圓形平板結構，適合以(r, θ)極座標的方式，藉以表示模態振型的物理意義。
5.
θ=0，是沿著圓週方向，沒有節線。θ=1，沿著圓週方向，有一條節線。θ=2，沿著圓週方向，有兩條節線。θ=3，沿著圓週方向，有三條節線。餘此類推。
6.
r=0，是沿著半徑方向，沒有節線。r=1，是沿著半徑方向，有一圈的節線。r=2，是沿著半徑方向，有兩圈的節線。餘此類推。
7.
圓形平板結構的彈性體振動模態，會有(1)軸對稱及(2)非軸對稱的振動模態振型之別。
8.
軸對稱模態的共同特徵是，(r, θ)的模態振型物理意義，圓週方向都有節線出現，所以θ不為0。
9.
非軸對稱模態的共同特徵是，(r, θ)的模態振型物理意義，圓週方向都沒有節線出現，所以θ為0。
10. 因為是四週自由邊界，彈性體振動模態會少了(r, θ)=(0,0) 及 (r, θ)=(0,1)兩個模態，當然，就是因為自由邊界效應。
希望本文對解讀圓形平板結構模態振型(mode shape)物理意義的說明，尤其是全自由邊界的振動模態物理意義的解讀，對您有幫助！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.05.23
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