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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列(4):不同初始條件,對振動響應有甚麼影響?

 

這個單元是SDOF簡諧激振系列的4,要來探討的主題是:不同初始條件,對振動響應有甚麼影響?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考左下方的圖示,就是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

以下舉實際的數值案例,進行分析,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以是次阻尼狀態。

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇,令簡諧外力振幅𝑭 = 0.2 (N),「簡諧外力」的「激振頻率𝒇 = 1.0 (Hz)。也就是𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏,即激振頻率」等於「自然頻率」,是「共振激振(resonant excitation)的狀態。

 

這個單元要探討的主題是:不同初始條件,對振動響應有甚麼影響?在此設定三種不同的初始條件」,令「初始速度𝒗𝟎0,也就是:𝒗𝟎 = 0 (m/s)。而假設有三種不同的初始位移𝒙𝟎,分別為:𝒙𝟎 = 0 (m)0.05 (m)0.1 (m)

 

參閱圖中右邊的3個動畫圖示,是質塊的位移響應𝒙(𝒕)示意圖,分別為:𝒙𝟎 = 0 (m)0.05 (m)0.1 (m)三種不同的初始條件」下,在相同的「簡諧外力」激振下的響應,以下探討其差異性:

 

1.      暫態響應(transient state response)區間,由於「初始位移𝒙𝟎不同,在初始期間,質塊的位移響應𝒙(𝒕)有不同的「暫態響應」過程。此「暫態響應」會受到兩個效應的影響,其一,來自 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應,其二,來自 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。參閱𝒙𝟎 = 0 (m)𝒙(𝒕)響應,就是只有𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振的暫態響應過程。與其他兩個有𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應,相互比較,就可以區別出 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 效應的影響。

2.      穩態響應(steady state response)區間,由於𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應,因為有阻尼效應,會衰減趨近於零而消失。而,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應,除了初期的變動外,則會趨於穩定的響應,在「穩態響應」區間,也會是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)

3.      觀察「穩態簡諧響應」的「位移振幅𝑿,雖然三種初始條件不同,但是其穩態的位移振幅」都相同,𝑿=0.01 (m)

4.      觀察「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」會等於「激振頻率」。

5.      觀察「穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差」,因為,在此案例,令「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 = 1.0 (Hz) 𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏

 

綜合一下本單元的討論,在此探討相同的「簡諧外力」作用於單自由度系統」,但是施予不同的初始條件令「初始速度𝒗𝟎0,而有不同的「初始位移𝒙𝟎差異與相似點統整如下:

 

1.      假設有三種不同的初始位移𝒙𝟎,分別為:𝒙𝟎 = 0 (m)0.05 (m)0.1 (m),探討質塊的位移響應𝒙(𝒕)的異同。

2.      都會有「暫態響應(transient state response)區間,隨著不同的初始位移𝒙𝟎,會有不同的「暫態響應」區間。

3.      也都會有「穩態響應(steady state response)區間,都形成有相同「簡諧響應頻率」的「簡諧響應」。

4.      由「穩態響應」,可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。其中,「位移振幅𝑿,雖然三種初始條件不同,但是其穩態的位移振幅」都相同,這是因為,都是相同的「簡諧外力」作用。

5.      由「穩態響應」,可知其「簡諧響應」的頻率,會是等於「激振頻率」,這是因為,「穩態響應」是由「簡諧外力」的作用效應所主導。

6.      由「穩態響應」,可觀察到𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差(90° out-of-phase)。這是因為在「共振激振(resonant excitation)狀態,也就是「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.04.02

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