這個單元要來探討的主題是：除了結構的「位移模態振型」(displacement
mode
shapes)，還會有其他類型的「模態振型」(Mode shapes)嗎？
首先，回顧一下前一個單元：#436，【結構的「模態振型」，有單位嗎？】，舉一個懸臂樑的實際結構，如圖片左上方，一個細長型的薄樑，在左端是固定邊界(fixed boundary)，在右端是自由邊界(free boundary)。
懸臂樑就是一個結構，每個結構都會有「振動模態」(vibration mode)。每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal
parameters)。包括：
(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)，慣用單位：Hz。
(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)，慣用單位：m。
(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping
ratios)，無因次參數，慣用數值單位，常以%表示。
參閱圖片左邊的圖示與動畫，係透過FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，分析取得的𝒇𝒓「自然頻率」及𝝓𝒓「模態振型」。懸臂樑結構的「模態振型」類型及其物理意義，可以區別出三種類型：
1.
第一種類型的「模態振型」是z-方向彎曲模態(z-bending mode)。
2.
第二種類型的「模態振型」是x-方向扭轉模態(x-torsional mode)。
3.
第三種類型的「模態振型」是y-方向彎曲模態(y-bending mode)。
結構𝝓𝒓「模態振型」是有單位的，其物理意義(physical meaning)彙整說明如下：
1. 結構𝝓𝒓「模態振型」的物理意義(physical meaning)：一般來說，指的都是「位移模態振型」(displacement mode shapes)，所以位移物理量的SI制單位是m。
2. 𝝓𝒓「位移模態振型」：是結構在該𝒇𝒓「自然頻率」下的變形狀態與運動行為。
3. 𝝓𝒓「位移模態振型」隱含意義：當結構「共振」(resonance)時，如果結構受到簡諧外力激振(harmonic force excitation)，如果此簡諧外力的𝒇𝒆「激振頻率」相等或相近於𝒇𝒓「自然頻率」，亦即𝒇𝒆=𝒇𝒓、或𝒇𝒆~𝒇𝒓時，可以觀察到結構的運動狀態，會是𝝓𝒓「位移模態振型」的變形狀態與運動行為。
這個單元要探討的主題：除了結構的「位移模態振型」(displacement
mode
shapes)，還會有其他類型的「模態振型」(Mode shapes)嗎？
答案是：有的，是有其他類型的「模態振型」。首先，參閱圖片右上方，顯示的是：𝒇𝟒=
223.85 Hz, 𝝓𝟒 = 3rd bending-z，也就是第4個「模態」(mode)，也是第3個z-方向彎曲模態(z-bending mode)，所對應的(𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜺𝒛)三個方向的「應變模態振型」(strain mode shapes)，說明如下：
1. 圖示的「應變模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的「應變」(strain)數值。
2. 可以觀察到：𝜺𝒙 Mode Shape的數值範圍=(-1.906, 1.906)。而，𝜺𝒚 Mode Shape的數值範圍=(-0.684,0.684)，𝜺𝒛 Mode Shape的數值範圍=(-1. 067 1.067)。在這個模態，其「應變」(strain) 主要是x-方向所主導。注意：「應變」是無因次單位。
3. 再觀察𝜺𝒙 Mode Shape，出現最大、最小「應變」的位置，在左側的固定端，以及有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)。
其次，參閱圖片中間圖示，顯示的是：第4個「模態」(mode)，也是第3個z-方向彎曲模態(z-bending mode)，所對應的(𝝈𝒙, 𝝈𝒚, 𝝈𝒛)三個方向的「應力模態振型」(stress mode shapes)，說明如下：
1. 圖示的「應力模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的「應力」(stress)數值。
2. 可以觀察到：x-方向「正向應力」(normal stress)𝝈𝒙 Mode Shape的數值範圍=(-0.486E12, 0.486E12)。而，𝝈𝒚 Mode Shape的數值範圍=(-0.252E12,
0.252E12)，𝝈𝒛 Mode Shape的數值範圍=(-0.250E12, 0.250E12)。在這個模態，其「正向應力」(normal stress)主要是x-方向所主導。注意：「應力」的單位是Pa。
3. 再觀察𝝈𝒙 Mode Shape，出現最大、最小「應力」的位置，在左側的固定端，以及有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)。此現象，和𝜺𝒙 Mode Shape有相同趨勢。可以理解：「應力」=「楊氏係數」x「應變」，𝝈=E 𝜺。
目前，觀察結構的「模態振型」(Mode shapes)，有：
(1) 「位移模態振型」(displacement mode shapes)。
(2) 「應變模態振型」(strain mode shapes)。
(3) 「應力模態振型」(stress mode shapes)。
每一種類型的「模態振型」都有其對應物理量的單位。每一種類型的「模態振型」都有對應不同方向的「位移」、「應變」、「應力」。
實務上，更有興趣知道的是：結構的「等效應力模態振型」(equivalent
stress
mode shapes)，此「等效應力」(equivalent stress)就是von
Mises stress「麥西斯應力」來自「畸應變能破壞理論」(distortion strain
energy failure theory)，用於評估結構受應力狀態的安全性。有關「破壞理論」(failure theory)，可參閱先前單元：#291，【甚麼是「破壞理論」 (Failure Theory)？如何應用於結構安全性評估？】。
參閱圖片右下方，顯示的是：懸臂樑前6個「模態」(mode)的von
Mises stress「麥西斯應力」的「等效應力模態振型」(equivalent stress mode shapes)，也就是𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，重點說明如下：
1. 圖示的「等效應力模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的𝝈𝒆𝒒𝒗 = von
Mises stress「麥西斯應力」數值。
2. 觀察𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，出現最大「應力」的位置，都是在左側的固定端。此隱含的意義是：當結構「共振」(resonance)時，如果結構受到簡諧外力激振(harmonic force excitation)，如果此簡諧外力的𝒇𝒆「激振頻率」相等或相近於𝒇𝒓「自然頻率」，亦即𝒇𝒆=𝒇𝒓、或𝒇𝒆~𝒇𝒓時，可以觀察到結構的運動狀態，會是𝝓𝒓「位移模態振型」的變形狀態與運動行為。而，對應的「等效應力模態振型」顯示出可能率先破壞的位置，也就是出現最大「應力」的位置。
3. 再觀察𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，除了左側的固定端外，如圖示的箭頭指出，會有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)，同時，也是有高的 𝝈𝒆𝒒𝒗 = von
Mises stress「麥西斯應力」數值，都是潛在的、有風險的位置。
最後統整一下，有關結構的「模態振型」(Mode shapes)，其類型可以觀察：
(1) 「位移模態振型」(displacement mode shapes)。
(2) 「應變模態振型」(strain mode shapes)。
(3) 「應力模態振型」(stress mode shapes)。
(4) 「速度模態振型」(velocity
mode
shapes)。
(5) 「加速度模態振型」(acceleration
mode
shapes)。
其中，「等效應力模態振型」(equivalent
stress
mode shapes)，也就是𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，可以用於結構受到「共振」(resonance)引發的破壞時，觀察von Mises stress「麥西斯應力」之「模態振型」(Mode shapes)，在有高的 𝝈𝒆𝒒𝒗 = von
Mises stress「麥西斯應力」數值、或是有「應力集中」(stress
concentration)的地方，會是潛在的、風險的破壞位置。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.08.08
