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《振動噪音科普專欄》相同初始位移,不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?



這個單元的主題:【相同初始位移,不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?】,首先,破題的思考:甚麼是「初始位移」、「阻尼比」、「質塊」、「振動」、「影響」?為什麼質塊有「初始位移」,質塊會有振動現象?在先前單元:【什麼是「阻尼」(damping)】,已經有說明。那麼,不同「阻尼比」時,質塊的振動,會有怎樣的差異呢?

在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,最常採用的「黏滯阻尼模型(viscous damping model),也就是圖示的「數學模型」,可以得到其「運動方程式」:ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。如本單元主題,不同「初始位移」,指的就是X0,「質塊」拉動後的變形量,就是「初始位移」。

接著,甚麼是「阻尼比」呢?摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。

參閱圖示以及影片的動畫說明,系統參數設定如下:m=1 (kg)k=100 (N/m),所以,Cc=20 (N-s/m)。以質塊的「初始位移X0=10 (m)及「初始速度V0=0 (m/s),探討質塊在不同「阻尼比」時的運動狀態:

1.      次阻尼(under damped)0<ξ<1:其中,分別取「黏滯阻尼係數c=51015(N-s/m),相當於「阻尼比ξ=0.250.50.75。可以觀察幾個現象:因為,有「阻尼效應」質塊會來回振盪,並且振幅有衰減的現象;而且,「阻尼比」越大,也就是「黏滯阻尼係數」越大,質塊振盪衰減的越快。
2.      臨界阻尼(critically damped)ξ=1:當「黏滯阻尼係數c=20 (N-s/m),相當於「阻尼比ξ=1。可以觀察:質塊沒有來回振盪的現象,而是,位移振幅快速的衰減到零。
3.      過阻尼(over damped)ξ>1:取「黏滯阻尼係數c=25 (N-s/m),相當於「阻尼比」ξ=1.25。可以觀察質塊的運動情形,和「臨界阻尼」相似,都沒有來回振盪,質塊的位移振幅也是快速衰減到零。

由以上三種「阻尼」狀態,包括:「次阻尼」、「臨界阻尼」、及「過阻尼」,因為,都有「阻尼效應」,所以質塊受到拉伸的「初始位移」後,質塊的位移振幅都會衰減到零。但是,當「阻尼比」等於、大於1,分別是「臨界阻尼」及「過阻尼」,質塊就不會有來回振盪的現象。這就是要定義「臨界阻尼」的主要原因。

只要有「阻尼」都有抑制質塊振動的效果,需要多大的「黏滯阻尼係數c呢?一種評估方式,係採用「安定時間(settling time),以需要多少時間,能夠使得質塊的振動,降低到某個程度之位移振幅,此時間為「安定時間」。例如:圖示中顯示,ξ=1,質塊位移振幅降為0.2 (m)時,「安定時間」約為0.5837 (sec)ξ=1.25,質塊位移振幅降為0.2 (m)時,「安定時間」約為0.8401 (sec)

這個單元,主要是探討了「質塊彈簧之實體結構」,以mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的動態分析,呈現了【相同初始位移,不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?】。其中,最主要的理念是「臨界阻尼」:在小於「臨界阻尼」時,也就是「次阻尼」,質塊的振動會呈現來回振盪的衰減現象;在「臨界阻尼」及「過阻尼」,質塊的運動狀態就是直接的衰減現象。這就是為什麼要定義「黏滯阻尼比ξ以及「臨界黏滯阻尼係數Cc,在本單元的案例說明,就可看出此「黏滯阻尼比ξ定義的需要性及重要性。

希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解不同阻尼」的特徵,包括:「次阻尼」、「臨界阻尼」、及「過阻尼」,以及其不同振動衰減現象的差異。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.02


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