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《振動噪音科普專欄》如何解讀振動模態:模態振型?


先前的單元:#160甚麼是結構的「振動模態」?】,討論的方向是以高爾夫球桿為例,可以分別由EMAFEA求得了結構的「振動模態」,也就是「模態參數」,其中包括了「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個重要的「模態參數」。同時,也介紹了:「振動模態」、「振動自然模態」、「模態參數」、「模態特性」等說法,可以說都是等效的名詞。

這個單元來探討如何解讀「振動模態」,特別是「模態振型」。首先,一個「振動模態,包括3個重要的「模態參數(modal parameters)

(1)       自然頻率(natural frequency)
(2)       模態振型(mode shape)
(3)       模態阻尼比(modal damping ratio)

參閱圖示,本單元以一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構作討論,這是個長條形、寬度比較窄的薄板結構。如果,對此結構進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),透過「有限元素分析(finite element analysis, FEA),進行「正交模態分析(normal mode analysis),可以分別得到兩個重要的「模態參數(modal parameters):「自然頻率(natural frequency)及「模態振型(mode shape)。在此需注意,通常「模態阻尼比」只能由實驗方法求得。

接下來參閱圖示或影片,可以觀察到有上中下三排的「模態振型」動畫,在此忽略「自然頻率」的數值,僅觀察「模態振型」來討論如何解讀其「振動模態」,特別是「模態振型」的物理意義。

由最上排的7個「模態振型」動畫來看,討論如下:

1.      首先,畫出平板結構原始形狀的輔助線,可以觀察到平板會有不動點的現象。
2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」之不動點,也就是「節線(nodal lines)的存在。由左到右,從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。
3.      根據平板在z-方向的彎曲振動或側向振動現象,以及各「模態振型」的「節線」特徵,可以說此「振動模態」是「彎曲模態(bending modes)
4.      彎曲模態」由小到大,編號及名稱如下:「1個彎曲模態(the 1st bending mode)、「2個彎曲模態(the 2nd bending mode)、到「7個彎曲模態(the 7th bending mode)

由此解讀方式,可以很明確的指出最上排的7個「模態振型」的物理意義,甚至更高頻率的「振動模態」也可以判斷出來。

接下來看圖示,中間排的7個「模態振型」動畫,討論如下:

1.      首先,也是畫出平板結構原始形狀的輔助線,不過是在寬度的y-方向,也就是寬度方向的正中間,可以觀察到平板在中線位置,會有不動點的現象。
2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」,在寬度的中間位置皆為不動點,也就是「節線(nodal lines)。另外,如同最上排的7個「模態振型」,在長度的x-方向,由左到右,從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。
3.      如果,在此要以前述的方式,來解讀中間排的7個「模態振型」動畫,就難以合理的解釋其「模態振型」的物理意義。在此,回顧編號#56單元:【甚麼是結構振動模態】,由於此平板主要的振動模態z方向的側向振動(lateral vibration),可以由平板的(x,y)兩個方向節線(nodal line)的特徵,據以解讀平板的振動模態特性,例如:(x,y)=(1,1)(2,1)(3,1)等不同的振動形式。
4.      因此,可以解讀最上排的7個「模態振型」是:(x,y)=(1,1)(2,1)、、、(7,1)等不同的振動形式。而中間排的7個「模態振型」是:(x,y)=(1,2)(2,2)、、、(7,2)等平板的振動模態特性。

至於,結構是否會有(x,y)=(1,3)(2,3)等平板的振動模態」呢?答案是:有。因為這是個長條形平板,長度x-方向寬度y-方向」長很多,在(x,y)=(1,3)、甚至(1,4)等之振動模態」,仍然存在,只是其「自然頻率」很高,在此僅顯示大約前20個「振動模態」,所以沒有觀察到此等高頻率的「振動模態」。

到此,可以看到以「平板」的角度,來觀察探討「振動模態特性是可行的,可以解讀圖示中最上排及中間排的所有模態振型」的物理意義。

最後,再觀察圖示中最下排的兩個「模態振型」,也是此長條形平板結構的「振動模態」之其中一種類型,討論如下:

1.      兩個「模態振型」都是在y-方向的振動,可以說是「y-方向彎曲模態(y-bending modes)
2.      此「y-方向彎曲模態」和最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」是完全不同的振動方向,一為y-方向,一為z-方向
3.      所以,可以分別定義最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」,分別由第1到第7個「z-方向彎曲模態」。而最下排的2個「模態振型」是「y-方向彎曲模態」,也是分別第1到第2個「y-方向彎曲模態」。其中,最下排的「y-方向彎曲模態」在前20個「模態」中,只出現兩個,這是因為「y-方向側向振動」其結構剛性大,其「自然頻率」相對較高,所以沒有出現第3個「y-方向側向振動」。
4.      如果,以「樑結構」角度來解讀「模態振型」的物理意義,那麼中間排的7個「模態振型」代表甚麼意義呢?如圖示標示,可以視為「x-方向扭曲模態(x-torsion modes),也就是以x-方向為旋轉中心的「扭曲模態(torsion modes),或稱為「旋轉模態(rotational modes)。但是,如果,以「平板模態」來看(x,y)=(1,3)的話,這種「x-方向扭曲模態」就難以有合理的解讀了。

綜合以上的討論,不要忘記了本單元的主題是在探討:如何解讀「振動模態」,特別是「模態振型」?如何找到一種簡潔的有效的表達方式,可以合理地解讀結構的「模態振型」是主要目的,在此介紹了三種解讀方式:

1.      z-方向彎曲模態」或簡稱「彎曲模態」的解讀:適用在只探討如最上排的7個「模態振型」,如果,不考慮其他方向的「振動模態」,單純以「1個彎曲模態(the 1st bending mode)、「2個彎曲模態(the 2nd bending mode)來解讀,是合理可行的。
2.      樑結構」角度的三種「振動模態」解讀:包括了「z-方向彎曲模態」、「y-方向彎曲模態」、「x-方向扭曲模態」。如果此長條形平板的模態,在有興趣的頻率範圍,包含了此三種「振動模態」特徵,就需要分別區別出「x-方向」、「y-方向」、「z-方向」的振動特徵,分別有bending modetorsion mode的差異。
3.      平板結構」角度的解讀:係以平板的(x,y)兩個方向節線(nodal line)的特徵,據以解讀平板的振動模態特性,例如:(x,y)=(1,1)(2,1)(3,1)等不同的振動形式。

綜合來說,這單元主要在解讀長條形平板結構「振動模態」的「模態振型」物理意義?大體上可以由「樑結構」角度或是「平板結構」角度,來解讀探討「振動模態」的「模態振型」之物理意義。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.05.11

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《振動噪音科普專欄》為什麼要瞭解銅鐘結構的「振動模態」?


振動噪音科普專欄】,已經有許多專欄的主題都和「振動模態」這個名詞相關,列舉編號及單元名稱如下:

1.          #4甚麼是【振動模態】?
2.          #56甚麼是結構振動模態
3.          #62銅鑼的「振動模態」如何解讀?

哇喔!以「振動模態」的關鍵詞,對【振動噪音科普專欄】進行搜尋,可以找到12篇的相關單元主題,讀者應該可以感受到「振動模態」的重要性,本單元將以「銅鐘」為例探討為什麼需要瞭解結構的「振動模態」?

首先,回顧一下「振動模態」的相關同義詞如下:

1.      Vibration modes 振動模態。
2.      Natural modes of vibration 振動自然模態。
3.      Modal parameters 模態參數:包括三個重要參數:(1)Natural frequency 自然頻率/固有頻率。(2)Mode shape 模態振型。Modal damping ratio模態阻尼比。
4.      Modal propertiesModal characteristics模態特性。

以上這些名詞「振動模態」、「振動自然模態」、「模態參數」、「模態特性」等,可以說都是等效的名詞。其中,最重要的莫過於「模態參數」,包括3個重要的「模態參數(modal parameters)

(1)       自然頻率(natural frequency)
(2)       模態振型(mode shape)
(3)       模態阻尼比(modal damping ratio)

接下來的提問:如何求得結構的「振動模態」呢?大體上,可以分為實驗方法及數值分析方法,在此,以圖示的「銅鐘」為例,作深入的探討概述如下:

1.      EMA: Experimental Modal Analysis 實驗模態分析,也可稱為Modal Testing 模態試驗(測試)。讀者可參考:【甚麼是【實驗模態分析】?What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)】。傳統的EMA,採用「衝擊槌」敲擊結構,以「加速度規」量測結構的響應,參閱圖示,分別對「銅鐘」施加外力及量測的加速度,就可以量測得到Hij(f)頻率響應函數(frequency response function, FRF),透過「曲線嵌合(curve fitting)或稱為「模態參數截取方法(modal parameters extraction method),可求得結構的「模態參數」,包括:「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」,分別以變數符號表示如下: 。圖示中列舉前5個「振動模態」的「自然頻率」以及對應的「模態振型」動畫。
2.      TMA: Theoretical Modal Analysis理論模態分析,工程實務上,最常採用的就是FEA: Finite Element Analysis有限元素分析。透過FEA有限元素分析」通常採用「正交(正規)模態分析(normal mode analysis)或稱「實數模態分析(real mode analysis),所以可以求得結構的「自然頻率」以及對應的「模態振型」。在此,須注意通常「模態阻尼比」只能由實驗方法求得。圖示中由FEA理論模態分析」也可觀察到「銅鐘」前5個「振動模態」的「自然頻率」以及對應的「模態振型」動畫。

當分別由EMAFEA求得了結構的「振動模態」,也就是「模態參數」,其中包括了「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個「模態參數」,他們是成對出現,也就每一個「振動模態」的 是相互對應的。

接著,再來思考一下:為什麼需要瞭解「銅鐘」結構的「振動模態」呢?就要來探討當「銅鐘」敲擊後,如何發出聲音呢?讀者可參考:【甚麼是ISOSPR】,以下由「SPR」的角度進行探討分析,:

1.          Source 激振源:可以是來自結構振動或其他噪音源的激勵(excitation)。以「銅鐘」來說,會以打擊棒敲擊「銅鐘」,就有「衝擊力(impact force)作用在「銅鐘」結構上。打擊棒敲擊頭材料的軟或硬,會影響激發的頻率範圍,如先前單元:【銅鑼使用不同敲擊頭,聲音有甚麼差異?】的討論。較軟材料的敲擊頭,比較能激發低頻率的響應;而較硬材料的敲擊頭,比較能激發較高頻率的響應。另外,已知力有三要素:「大小」、「方向」、「作用點」。所以,敲擊的大小力道、敲擊的方向都會影響激發的聲音特性,特別是敲擊的位置,敲在不同位置,會與「銅鐘」的「模態振型」相關,使得有不同的頻率響應特徵。
2.          Path是傳遞路徑:以「銅鐘」的「發聲機制(sound generation mechanism)過程來看,包括了「結構路徑(structural path)及「空氣路徑(air path)。對「銅鐘」而言,最重要的就是「銅鐘」的「模態參數」,其中包括了 自然頻率」、 模態振型」、 模態阻尼比」。
3.          Response 響應:也可以說是receiver是「接受者」,所以說是Response響應」。對「銅鐘」的「發聲機制」來說,「銅鐘」結構的「振動響應」以及其「聲音響應」是重點。

針對「銅鐘」的「發聲機制」,以及與「銅鐘」結構的「模態參數」關係,討論如下:

1.      銅鐘」的「自然頻率 :「銅鐘」主要發出聲音的「發聲頻率」,主要來自「銅鐘」的「振動模態」之「自然頻率 。每一個「自然頻率」都是潛在會發出聲音的「發聲頻率」。
2.      銅鐘」的「模態振型 :由圖示FEA理論模態分析」也可觀察到「銅鐘」前5個「振動模態」的「模態振型」動畫。其中,紅色區域是振動大的位置,而藍色區域是不會振動的「節線(nodal line)。如果,敲擊位置是在紅色區域,可以激發該「振動模態」之「自然頻率」,例如:敲擊在「銅鐘」的下部區域,可以激發出前5個「振動模態」之「自然頻率」,因為各個「振動模態」的「模態振型」都有紅色區域。但是,如果,敲擊在「銅鐘」的上部區域,如圖示的第4、第5個「模態振型」動畫,此時,比較能夠被激發的「發聲頻率」是第4、第5個「振動模態」之「自然頻率 。所以,不同的敲擊位置的確會影響不同「振動模態」之「發聲頻率」的貢獻度。
3.      銅鐘」的「模態阻尼比 :「模態阻尼比」會影響的是「發聲頻率」的「衰減率 ,其關係式為 ,可以知道「模態阻尼比」越大,「衰減率」就越大;同時,「自然頻率 越大,「衰減率」也就越大,所以通常高頻率的「銅鐘」的「自然頻率」就是「發聲頻率」,其聲音就有較快的衰減現象。

最後,來提問:如何設計與製造出有好聽的聲音的「銅鐘」呢?思考方向統整如下:

1.          銅鐘」的「自然頻率 :因為「銅鐘」的「發聲頻率」來自其結構的「自然頻率」,所以,「銅鐘」的結構設計,就是讓「銅鐘」的「自然頻率」組成,使得「銅鐘」有好聽的「音色(tonality),因此,「銅鐘」結構的幾何設計及材料的選用,就需要適當的設計分析。有關「音色」讀者可參考:甚麼是「基音頻率」和「泛音頻率」?】。
2.          銅鐘」的「模態振型 :有「自然頻率」就有對應的「模態振型」,就如前述對於選擇「銅鐘」的敲擊位置,有很大的差異與影響,必須確認適當的敲擊點,使得哪些「振動模態」之「自然頻率」能夠被有效的激發出來,而得到其「發聲頻率」。
3.          銅鐘」的「模態阻尼比 :「銅鐘」材料的「阻尼比」也是很重要,如果,希望「銅鐘」的聲音能持續迴盪有較久的時間,就要讓「衰減率」越小越好,也就是「銅鐘」材料的「阻尼比」要越小越好。

這個單元綜合一下,儘管要討論的是:為什麼需要瞭解「銅鐘」結構的「振動模態」呢?重點彙整如下:

1.          首先,要瞭解「銅鐘」結構的「振動模態」,包括:「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個「模態參數」。
2.          其次,瞭解「銅鐘」的「發聲機制」,其主要的「發聲頻率」來自其結構的「自然頻率」,所以,透過「銅鐘」的結構設計可以改變結構的「自然頻率」,進而改善「銅鐘」的「發聲頻率」。
3.          最後,如何設計與製造出有好聽的聲音的「銅鐘」呢?藉由「銅鐘」的結構設計,就是讓「銅鐘」的「自然頻率」組成,使得「銅鐘」有好聽的「音色(tonality)。選用適當的「銅鐘」材料的「阻尼比」,可以使得「衰減率」越小,進而使得「銅鐘」的聲音能有較長時間的持續迴盪效果。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.05.08

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