這個單元要來探討的主題是：如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？以「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」為例，來說明如何建構其「數學模型」。
參閱圖示左上方，是「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」示意圖，也就是「實際結構」。此結構的主要元件，包括：「凸輪」(cam)、「推桿」(push rod)、「搖臂」(rocket arm)、「汽門閥」(valve)、以及「汽門閥彈簧」(valve spring)。
此「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」的動作原理，由左下角的「凸輪」看起：
1. 「凸輪」旋轉會頂起「推桿」。
2. 「推桿」和「搖臂」連接，帶動了「搖臂」旋轉。
3. 「搖臂」的另一端連接「汽門閥」，「搖臂」旋轉會頂開「汽門閥」。
4. 在汽缸與「搖臂」之間有「汽門閥彈簧」，當「凸輪」旋轉到沒有頂到「推桿」。
5. 「汽門閥彈簧」會伸展，使得「汽門閥」與汽缸進氣口或排氣口密合，呈現關閉狀態。
一般四行程引擎，會有一個進氣口與一個排氣口，此結構示意圖，僅考慮一個進氣閥、或排氣閥。
如果，想要知道這個結構系統是否會有「共振」(resonance)，就需要知道外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
針對「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」系統，要分析此系統是否會有「共振」，就需要求得系統的「自然頻率」。因此，要對此「實際結構」(real structure)進行「數學建模」(mathematical modeling)，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
回顧先前單元：#315，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？- 搖頭娃娃】，介紹了針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，摘錄如圖示左下方，包括：
1. 定義系統之質塊元件：Mass element
2. 定義系統之連接元件：K & C elements
3. 定義系統之自由度：DOF
4. 定義系統之邊界條件：Boundary
5. 定義系統之輸入條件：Input / Loading
6. 定義系統之初始條件：Initial Condition (I.C.)
7. 定義有興趣之系統輸出參數：Output Variables
以下就針對此「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」，依照7個步驟，參閱圖示右上方的「數學模型」示意圖，或是觀看影片，可以逐項的來進行「數學建模」，以取得系統的「數學模型」，說明如下：
1. Mass element：首先定義「搖臂」是一根剛性長條形質塊，需要定義參數：𝒎𝒓「搖臂」的質量，以及 𝑰𝒓「搖臂」的質量慣性矩或稱轉動慣量，要注意所選取的參考點。「推桿」假設為一個集中質量塊，附著在「搖臂」上，其質量為 𝒎𝒑。「搖臂」的右端也附著了「汽門閥」，同樣假設為一個集中質量塊，其質量為 𝒎𝒗。
2. K & C elements：此系統有兩個彈簧效應，首先看的是「推桿」的彈簧效應，可視為是懸臂柱的「等效彈簧常數」，以𝒌𝒑代表。另外，就是「汽門閥彈簧」，以𝒌𝒗代表。
3. DOF：「自由度」Degree-of-Freedom (DOF)，每一個Mass element，都要定義其「自由度」。所以，如圖示：𝜽(𝒕)、𝒙𝒑 (𝒕)、𝒙𝒓 (𝒕)、𝒙𝒗 (𝒕)，分別定義了「搖臂」的旋轉角度、「推桿」的位移、「搖臂」的位移、和「汽門閥」的位移。看起來有4個DOF自由度，但是，其間有明確的幾何關係，所以這是一個單自由度SDOF系統。
4. Boundary：「邊界」，如圖示有兩個邊界位置，一個是在「搖臂」旋轉軸的固定位置，同時假設旋轉軸為銷接(pin joint)，可自由旋轉、且無摩擦(frictionless)。另一個是在「汽門閥彈簧」的汽缸位置。
5. Input / Loading：系統的「輸入」或「負荷」，如圖示，就是在「凸輪」位置，假設「凸輪」的輪廓是個間歇式的半弦波(half sine)，如圖示的𝒚(𝒕)，是位移的輸入(displacement input)，也就是「基座激振」(base excitation)。觀察𝒚(𝒕)的時間波形，可以界定出循環「週期」𝑻 =
𝟏/𝒇𝒆，其中，𝒇𝒆就是「激振頻率」，也就是「凸輪」軸的「轉速頻率」。
6. Initial Condition (I.C.)：「初始條件」，理念上，每一個系統「自由度」(DOF)，都可以定義I.C.，在此需要定義𝜽(𝒕)、𝒙𝒑 (𝒕)、𝒙𝒓 (𝒕)、𝒙𝒗 (𝒕)的初始位移及初始速度。
7. Output Variables：甚麼是有興趣之系統輸出參數？以振動分析來說，通常會需要瞭解是否有「共振」(resonance)？所以，必須求得系統的「自然頻率」(natural frequency)。
要求得系統的「自然頻率」，可以運用先前多個單元討論過的「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，取得如圖示右下方，以𝒙𝒑 (𝒕)為基準的等效系統，說明如下：
1. 此等效系統為單自由度SDOF系統，而且是「基座激振」的系統。
2. 系統的「自由度」是𝒙𝒑 (𝒕)。
3. 系統參數，包括：𝒎𝒑,𝒆𝒒以及𝒌𝒑,𝒆𝒒。
4. 「基座激振」的輸入，來自「凸輪」的輪廓是個間歇式的半弦波，如圖示的𝒚(𝒕)，是位移的輸入(displacement input)。
完成了「等效系統分析」，就可以求得系統的「模態參數」(modal parameter)，參閱圖示右下方的方程式，特別是 𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)。
要評估是不是會有「共振」？就要確認𝒇𝒆「激振頻率」遠離系統的𝒇𝒏「自然頻率」，以避開
「> 20%」為原則，如果結構設計使得𝒇𝒏夠大，使得𝒇𝒆 << 𝒇𝒏，就可以避免共振。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 探討「實際結構」(real structure)：「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」系統。
2. 進行「數學建模」(mathematical modeling)：有7個步驟。
3. 建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)：簡化為一個單自由度SDOF「基座激振」(base excitation)系統。
4. 進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)：取得以𝒙𝒑 (𝒕)為基準的等效系統。
5. 求得系統的「模態參數」(modal parameter)：特別是 𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)。
6. 評估避免「共振」(resonance)：以「> 20%」為原則，確認𝒇𝒆「激振頻率」遠離系統的𝒇𝒏「自然頻率」，使得𝒇𝒆 << 𝒇𝒏，就可以避免共振。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
