《振動噪音科普專欄》轉子系統的不平衡質量(unbalanced mass)有哪些類型？

這個單元要來探討的主題是：轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？

                                        

在前一個單元，探討了轉子系統(rotor system)，受到「不平衡質量」(unbalance mass)效應，所造成振動大的現象、原因、與對策，相關基本概念。這個單元來看：轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？

 

就破題，從關鍵詞(keywords)，逐次來討論。首先，轉子系統(rotor system)，參閱圖片右邊上方顯示，一個典型的轉子系統(rotor system)，包含：馬達(Motor)、聯軸器(Coupling)、轉軸(Shaft)、以及兩個軸承(Bearing)。

 

解剖一個系統，可以參閱圖片左下方的三個「系統方塊圖」(system block diagram)，就快速回顧一下，說明如下：

 

1.      EOM時間域「系統方塊圖」(time domain system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、系統矩陣：[𝑴],[𝑪],[𝑲]、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。

2.      Mode模態域「系統方塊圖」(modal domain system block diagram)：第 𝒋 點的外力 𝒇𝒋 (𝒕)、模態參數(modal parameters)、第 𝒊 點的系統位移響應 𝒙𝒊 (𝒕)。模態參數包括：𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)、𝝓𝒓=模態振型(mode shape)、𝝃𝒓=模態阻尼比(modal damping ratio)。

3.      FRF頻率域「系統方塊圖」(frequency domain system block diagram)：外力頻譜 𝑭𝒋 (𝒇)、頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、系統位移響應頻譜 𝑿𝒊 (𝒇)。

 

其次的關鍵詞(keywords)，「不平衡質量」(unbalance mass)。參閱圖片中的「不平衡質量」(unbalance mass)效應之示意圖，取轉軸(Shaft)的一個截面來看。其中，𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。

 

如果，轉軸(Shaft)的轉速，𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)。則，𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎，單位：Hz = cycle/sec。可得：𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)，單位：rad/sec。

 

如圖示的「不平衡質量」(unbalance mass)效應大小，即𝒎𝑹。旋轉時，會形成一個簡諧力(harmonic force)，就是sine波的外力，就是不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，作用在轉軸上的某一 𝒋點，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。

 

在這樣的不平衡質量等效外力(unbalance mass force)作用下，系統的響應，也會是接近sine波，表示如下：𝒙𝒊 (𝒕)=𝑿𝒊 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。實際上的𝒙𝒊 (𝒕)時間波形，不會是理想的Pure sine wave純正弦波的響應。

 

實務上，參閱中間下方圖示的𝒙𝒊 (𝒕)時間波形，為Distorted sine wave扭曲正弦波，接近sine波，但不是sine波。因此，其對應的 𝑿𝒊 (𝒇) 頻譜(spectrum)，呈現的是「簡諧倍頻」(harmonics)、或簡稱「諧頻」。也就是頻譜有許多個峰值(peaks)，出現在nX是1X =𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的n倍頻率點位置。而且，1X的振幅，是相對較大的。

 

如果已知、確認，轉子系統(rotor system)的振動大，是來自「不平衡質量」(unbalance mass)效應，對策：就是對此轉子系統(rotor system)進行平衡校準(balancing)。平衡校準(balancing)的概念：

 

(1)    找到「不平衡質量」(unbalance mass) 效應的大小，即𝒎𝑹，就是𝒎「不平衡質量」和其𝑹「旋轉半徑」。以及所在角度位置。

(2)    選用和「不平衡質量」(unbalance mass) 效應相同大小的「平衡配重塊」(counter weight)的𝒎𝑹。

(3)    安裝「平衡配重塊」(counter weight)，在「不平衡質量」(unbalance mass) 效應之旋轉軸的反向、對角180度的角度位置。

 

接下來的關鍵詞(keywords)，「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？概分為三種類型(types)：

 

1.      靜力不平衡/靜不平衡(static unbalance)。

2.      耦合不平衡/力偶不平衡(couple unbalance)。

3.      動態不平衡/動不平衡(dynamic unbalance)。

 

參閱圖片右邊第1個轉軸圖示，就是(1) 靜力不平衡(static unbalance)。一個紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)坐落在轉軸(Shaft)的中間位置。若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，是相同的，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為靜力不平衡(static unbalance)，轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。

 

(1) 靜力不平衡(static unbalance)的重點說明如下：

 

1.      頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。

2.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。

3.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於0度。因為，靜力不平衡(static unbalance)的旋轉，接近類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。

 

參閱圖片右邊第2個轉軸圖示，就是(2) 耦合不平衡(couple unbalance)。有兩個大小相同的、紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)，分別坐落在轉軸(Shaft)的兩端，在轉軸(Shaft)的截面，剛好180度反向。

 

若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，會是大小相同、而方向相反，形成力偶(couple)，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為力偶不平衡(couple unbalance)、或耦合不平衡(couple unbalance)。轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的兩個相同大小圓錐體(cone)的旋轉狀態，左端上、右端下，或是左端下、右端上，持續旋轉的變動狀態。

 

(2) 耦合不平衡(couple unbalance)的重點說明如下：

 

1.      頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。

2.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。

3.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於180度。因為，耦合不平衡(couple unbalance)的旋轉，接近類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。

4.      頻譜(spectrum)的軸向(Axial) 1X振幅也會大：在軸向(Axial)，1X振幅會大的原因，就是來自兩個相同大小圓錐體(cone)的旋轉狀態。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。

 

參閱圖片右邊第3個轉軸圖示，就是(3) 動態不平衡(dynamic unbalance)。實務上，大都是屬於這種型態的「不平衡質量」(unbalance mass)，也就是前兩種(1) 靜力不平衡和(2) 耦合不平衡的組合狀態。舉例來說，有兩個大小不同的、紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)，分別坐落在轉軸(Shaft)的兩端，左端的小、右端的大，而且在轉軸(Shaft)的截面，剛好180度反向。

 

若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，會是大小不相同、而方向相反，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為動態不平衡(dynamic unbalance)。轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的一小、一大兩個圓錐體(cone)的旋轉狀態，左端上、右端下，或是左端下、右端上，持續旋轉的變動狀態。

 

(3) 動態不平衡(dynamic unbalance)的重點說明如下：

 

1.      頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。

2.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。

3.      相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會介於0~180度之間，端視兩端不同大小不平衡質量的狀態。因為，是前兩種(1) 靜力不平衡和(2) 耦合不平衡的組合狀態。

4.      頻譜(spectrum)的軸向(Axial) 1X振幅也會大：在軸向(Axial)，1X振幅會大的原因，就是來自兩個大小圓錐體(cone)的旋轉狀態。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。

 

綜合這個單元的討論，轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？總結如下：

 

1.      以一個典型的轉子系統(rotor system)，說明3個重要的「系統方塊圖」，包括：(1) EOM時間域，(2) Mode模態域，(3) FRF頻率域。

2.      回顧說明「不平衡質量」(unbalance mass)效應：所引發的不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)。𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)。所以，1X=𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的振幅，是相對較大的。而且，會隨著轉速增加，振動會增大。

3.      介紹了轉子系統(rotor system)「不平衡質量」(unbalance mass)的三種類型(types)：(1) 靜力不平衡(static unbalance)。(2) 耦合不平衡(couple unbalance)。(3) 動態不平衡(dynamic unbalance)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.06.10

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《振動噪音科普專欄》轉子系統為甚麼會振動大？– 不平衡質量–從系統方塊圖system block diagram的解讀

這個單元要來探討的主題是：轉子系統(rotor system)為甚麼會振動大？–「不平衡質量」(unbalance mass)–從「系統方塊圖」(system block diagram)的解讀。

 

參閱圖片中間上方圖示，一個典型的轉子系統(rotor system)，本單元將針對「不平衡質量」(unbalance mass)效應，所引起振動大的響應，就從「系統方塊圖」(system block diagram)來解讀，說明引發「不平衡質量」的原因與效應。

 

既然要談「系統方塊圖」(system block diagram)，就快速回顧一下，先前單元，所列舉的7個「系統方塊圖」，摘錄如下：

 

1.      結構「系統方塊圖」(structural system block diagram)：輸入、結構/機器、輸出。

2.      ISO「系統方塊圖」(ISO system block diagram)：輸入Input、系統System、輸出Output。

3.      SPR「系統方塊圖」(SPR system block diagram)：激振源Source、路徑Path、響應Response。

4.      FGMBIR物理域「系統方塊圖」(physical domain system block diagram)：外力Force、幾何Geometry / 材料Material / 邊界Boundary / 接觸介面Interface、響應Response。

5.      EOM時間域「系統方塊圖」(time domain system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、系統矩陣：[𝑴],[𝑪],[𝑲]、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。

6.      Mode模態域「系統方塊圖」(modal domain system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、模態參數(modal parameters)、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。模態參數包括：𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)、𝝓𝒓=模態振型(mode shape)、𝝃𝒓=模態阻尼比(modal damping ratio)。

7.      FRF頻率域「系統方塊圖」(frequency domain system block diagram)：外力頻譜 𝑭𝒋 (𝒇)、頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、系統位移響應頻譜 𝑿𝒊 (𝒇)。

 

瞭解了「系統方塊圖」(system block diagram)的概念，這個單元就針對「不平衡質量」(unbalance mass)效應，來說明所引起振動大的響應的現象、原因、對策。

 

在此以【SCR】=【3K】的心法，來說明「不平衡質量」(unbalance mass)效應：

 

1.      Situation = 現象 = Know what? = 瞭解現象。

2.      Cause = 原因 = Know why? = 探討原因。

3.      Resolution = 對策 = Know how? = 尋求對策。

 

首先，Situation = 現象呢？就是機器的振動，會隨著轉速增加，振動會增大。更深層的疑問會是：哪裡的振動大？哪一個方向的振動大？怎麼界定振動大呢？就是要：Know what? = 瞭解現象。讀者可參考，先前單元：#468，【如何判斷一部機器的振動大或小？指標(Index)、標準(Criterion)、量值(Value)】。

 

另外，參閱圖片中間的圖示，模擬一個轉子系統(rotor system)的振動響應。Pure sine wave純正弦波的時間波形(time waveform)以及對應的頻譜(spectrum)，在頻譜，只有一個峰值(peak)，其頻率=20 Hz，振幅=10。此20 Hz，就是轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)。

 

但是，實務上，不會是這種Pure sine wave純正弦波的響應。而是，中間下方圖示的Distorted sine wave扭曲正弦波，接近sine波，但不是sine波。因此，其對應的頻譜(spectrum)，呈現的是「簡諧倍頻」(harmonics)、或簡稱「諧頻」。也就是頻譜有許多個峰值(peaks)，出現在nX是1X =𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的n倍頻率點位置。而且，1X的振幅，是相對較大的。

 

其次，Cause = 原因 = Know why? = 探討原因。當觀察到機器的振動大，而且是1X =𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的振幅，是相對較大的。可能的原因之一，就是「不平衡質量」(unbalance mass)效應。

 

參閱圖片中的「不平衡質量」(unbalance mass)效應之示意圖，其中，𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。

 

在此，採用【4W】心法：What is? Why? What goals? How? 分項說明如下：

 

1.      What is? 甚麼是「不平衡質量」(unbalance mass)效應？「不平衡質量」：就是會引發結構機器會有大的振動，特別是1X=𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的振幅，是相對較大的。

2.      Why? 為什麼會產生「不平衡質量」(unbalance mass)效應？假設此不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，作用在轉軸上的某一 𝒋點，由於旋轉、會形成一個簡諧力(harmonic force)，就是sine波的外力，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)。𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)。

3.      What goals? 要改善到甚麼目標呢？當然就是降低振動，必須移除「不平衡質量」(unbalance mass)效應，才能夠降低振動。

4.      How? 如何做呢？就是對此轉子系統(rotor system)進行平衡校準(balancing)。

 

最後，再回到Resolution = 對策的思考，如果，診斷出來真的是「不平衡質量」(unbalance mass)效應的問題，必須要知道Know how? = 尋求對策。就是對此轉子系統(rotor system)進行平衡校準(balancing)。

 

當然，平衡校準(balancing)的工作，並不簡單，在此，僅簡要說明其概念：

 

1.      找到「不平衡質量」(unbalance mass) 效應的大小與角度位置。如圖示的𝒎𝑹，就是「不平衡質量」效應的大小。𝒎「不平衡質量」和其𝑹「旋轉半徑」。圖示的角度，大約在東北方、2點鐘方向，假設為45度。

2.      選用「平衡配重塊」(counter weight)大小的𝒎𝑹，使得和「不平衡質量」(unbalance mass) 效應的大小𝒎𝑹，相等。

3.      「平衡配重塊」(counter weight)的安裝角度位置，在「不平衡質量」(unbalance mass) 效應之旋轉軸的反向、對角180度的位置。

 

綜合這個單元的討論，主要探討轉子系統(rotor system)為甚麼會振動大？針對「不平衡質量」(unbalance mass)效應，從「系統方塊圖」(system block diagram)的解讀，以瞭解「不平衡質量」(unbalance mass)效應，所造成振動大的現象、原因、與對策。總結如下：

 

1.      以一個典型的轉子系統(rotor system)，說明7個重要的「系統方塊圖」，包括：(1) 結構，(2) ISO，(3) SPR，(4) FGMBIR物理域，(5) EOM時間域，(6) Mode模態域，(7) FRF頻率域。

2.      以【SCR】=【3K】的心法，來說明「不平衡質量」(unbalance mass)效應：所引發的不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)。𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)。所以，1X=𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的振幅，是相對較大的。而且，會隨著轉速增加，振動會增大。

3.      實務上，受到「不平衡質量」(unbalance mass)效應，結構振動的特徵：會是Distorted sine wave扭曲正弦波，接近sine波，但不是sine波。因此，其對應的頻譜(spectrum)，呈現的是「簡諧倍頻」(harmonics)、或簡稱「諧頻」。也就是頻譜有許多個峰值(peaks)，出現在nX是1X =𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的n倍頻率點位置。而且，1X的振幅，是相對較大的。

4.      要改善因為「不平衡質量」(unbalance mass)效應、而振動大的問題，就是對此轉子系統(rotor system)進行平衡校準(balancing)。平衡校準(balancing)的概念：(1) 找到「不平衡質量」(unbalance mass) 效應的大小，即𝒎𝑹，就是𝒎「不平衡質量」和其𝑹「旋轉半徑」。以及所在角度位置。(2) 選用和「不平衡質量」(unbalance mass) 效應相同大小的「平衡配重塊」(counter weight)的𝒎𝑹。(3) 安裝「平衡配重塊」(counter weight)，在「不平衡質量」(unbalance mass) 效應之旋轉軸的反向、對角180度的角度位置。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.06.10

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