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《振動噪音產學技術聯盟》振動分析中的model、mode、modal、mode shape有甚麼差異?

這個單元要來探討的主題是:振動分析中的modelmodemodalmode shape有甚麼差異?

 

為什麼會來探討這個主題呢?許多學生常常對一些英文的專有名詞混淆,特別是:modelmodemodalmode shape。看起來,都很像,不注意,就錯誤的使用這些名詞。

 

這個單元的目標,就是來釐清modelmodemodalmode shape的差異。

 

首先,看一下名詞中英文對照:

 

l   Model 模型,名詞。

l   Mode 模態,名詞。

l   Modal 模態的,形容詞。

l   mode shape 模態振型,名詞。

 

當講到Model 模型,在此介紹兩個重要名詞:

 

1.      Mathematical Model數學模型

2.      Finite Element Model有限元素模型

 

首先來看,甚麼是「數學模型(Mathematical Model)?參閱圖片右上圖示,摘錄自先前單元:#315如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 搖頭娃娃】,重點說明如下:

 

1.      實際結構(real structure):一個搖頭娃娃。

2.      進行「數學建模(mathematical modeling):對結構做適當的假設(assumptions)

3.      得到「數學模型(mathematical model):以代表「實際結構」的樣態。如圖示,為一個典型的外力激振SDOF(single degree of freedom)系統。期望,由此「數學模型」來進行分析,以瞭解「實際結構」的振動情形。

 

所以,「數學模型(mathematical model)是,對「實際結構」透過適當的假設(assumptions),所得到的分析模型。並期望,由此「數學模型」來進行分析,以瞭解「實際結構」的振動情形。

 

其次,甚麼是「有限元素模型(Finite Element Model)?在實務上,常常會採用CAE/FEA,即電腦輔助工程分析(computer aided engineering, CAE)有限元素分析(finite element analysis, FEA)軟體,進行結構的應用分析。

 

參閱圖片右邊中間圖示,摘錄自先前單元:#297如何從「數學模型」定義「有限元素模型」?心法:「有限元素模型」4項要素】,所探討的結構案例:樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析,參閱圖示右上方的示意圖,說明如下:

 

1.      已經應用【F GMBI R】心法,完成了實際結構問題定義(Problem Definition),以及對應於「實際結構」的「數學模型(Mathematical Model)

2.      F GMBI R】:其中,F代表的是外力(Force)、輸入(Input)、激振源(Source)GMBI就是系統資訊,分別是幾何(Geometry)材料(Material)邊界(Boundary)接觸介面(Interface)R就是系統的輸出(output)響應(Response)

 

要使用CAE/FEA軟體於應用分析,必須先有構想的「有限元素模型(Finite Element Model) ,需要的心法是「有限元素模型4項要素:EMCL,其對應【F GMBI R】心法,如下:

 

1.      Element 元素 GMI

2.      Mesh 元素分割 GM

3.      Constraints 位移限制 B

4.      Loading 負荷條件 F

 

以上,討論的就是Model模型的概念。

 

接著,來看甚麼是Mode模態?完整的名詞,應該稱為Vibration Modes振動模態。參閱圖片右邊下方圖示,摘錄自先前單元:#77高爾夫球桿模型驗證】,就透過EMA實驗模態分析(Experimental Modal Analysis, EMA)以及FEA 有限元素分析(Finite Element Analysis, FEA),進行實驗以及分析,以求得高爾夫球桿的振動模態(Vibration Modes)

 

甚麼是振動模態(Vibration Modes)?就是,「模態參數(Modal Parameters),有三個:

 

1.      Natural frequencies自然頻率=𝒇𝒓

2.      Mode shapes 模態振型=𝝓𝒓

3.      Modal damping ratios 模態阻尼比=𝝃𝒓

 

而,Mode shapes 模態振型,是三個「模態參數(Modal Parameters)的其中之一。在此,彙整一下有關「振動模態(Vibration Modes)的名詞:

 

l   Mode模態」,完整的名詞,應該要說 Vibration Modes振動模態」。

l   Modal模態的」,形容詞,如:Modal Parameters模態參數」,有三個:(1) 𝒇𝒓自然頻率(Natural frequencies)(2) 𝝓𝒓模態振型(Mode shapes)(3) 𝝃𝒓模態阻尼比(Modal damping ratios)

l   Mode shapes模態振型」,是三個「模態參數(Modal Parameters)的其中之一。

 

這個單元的重點,在釐清:modelmodemodalmode shape的差異。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2025.06.17

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《振動噪音產學技術聯盟》振動分析,會用到的工程數學,有哪些?

 

這個單元要來探討的主題是:「振動分析(vibration analysis),會用到的「工程數學(engineering mathematics),有哪些?

 

為什麼會來探討這個主題呢?許多學生常常不知道為什麼需要修讀「工程數學」?甚至也有業界朋友直言,不必讀「工程數學」,在業界用不到。殊不知,數學是工程之母,工學院的學生在在需要有良好的「工程數學」背景,方能夠真正處理工程實務的研發工作。

 

本單元,就本人撰寫的「振動學(Vibrations),全華科技圖書公司出版,以及主要的授課內容,盤整了「振動分析(vibration analysis),會用到的「工程數學(engineering mathematics),有哪些?

 

首先,一定會用到的、修讀「工程數學」的先修課程,就是「微積分(calculus),包含:微分(difference)積分(integration)。也會介紹一些函數(function),在振動課程中,常見的有:簡諧函數(harmonic function)脈衝函數(Dirac delta function)步階函數(step function)

 

在此提示,一個數學方程式(mathematical equation),可以從三個角度來看:

 

1.      數學意義(Mathematical meaning):方程式,本身就是「數學意義」。

2.      幾何意義(Geometrical meaning):而方程式,常常可以幾何圖形表示,就是「幾何意義」。

3.      物理意義(Physical meaning):數學厲害的地方,就是相同的「數學意義」、「幾何意義」,可以應用到不同場合,就會有不同的「物理意義」。

 

簡諧函數(harmonic function)來說,可以有以下三種形式:

 

1.      正弦函數𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),如果,𝒇(𝒕)是外力之時間波形,可以觀察到,𝑭 就是簡諧外力振幅(harmonic force amplitude),而 𝒇 就是此「簡諧外力」的「激振頻率(excitation frequency)

2.      餘弦函數𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝒕),本質上和正弦函數是相同的,只是有90度相位角差。

3.      複數形式的指數函數𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕=𝑭[𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)+𝒊𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)],由尤拉公式(Euler formula)𝒆^𝒊𝝎𝒕 可以解析為:餘弦函數 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 和正弦函數 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的組合。

 

以上,𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕,都可以由方程式的「數學意義」,畫出「幾何意義」,而在此,𝒇(𝒕)的「物理意義」,就是外力之時間波形。

 

其次,在振動分析的入門,就是:「常微分方程式(ordinary differential equation, ODE),也是工程數學的入門。參閱圖示右上方,顯示了典型的外力激振SDOF(single degree of freedom)系統的模型,以及對應的運動方程式,就是一個二階的ODE,所以,需要兩個初始條件。

 

解析這樣的SDOF運動方程式,可以彙整有以下的解析方法,在本單元,僅列出方程式,以及簡單說明如下:

 

1.      特解(particular solution) 解析𝒙(𝒕)=𝒙𝒉(𝒕)+𝒙𝒑(𝒕)。其中,𝒙𝒉(𝒕)是齊性解(homogenous solution)𝒙𝒑(𝒕)是特解(particular solution)

2.      脈衝響應函數(impulse response function, IRF) 解析𝒙(𝒕)=𝒙𝑰𝑪 (𝒕)+𝒙𝑰𝑹𝑭 (𝒕)。其中,𝒙𝑰𝑪 (𝒕)是初始條件(initial condition, IC)效應的解。𝒙𝑰𝑹𝑭 (𝒕)是外力效應的IRF解。

3.      頻率響應函數 (frequency response function, FRF) 解析 𝒙𝑭𝑹𝑭 (𝒕)。係透過傅立葉轉換(Fourier transform, FT)以及逆傅立葉轉換(inverse Fourier transform, IFT)的解析方法。

4.      拉普拉斯轉換 (Laplace transform, LT) 解析:透過LT,將系統的時間域(time domain)參數,轉換到s-(s-domain),求得s-domain的解,再透過逆拉普拉斯轉換 (inverse Laplace transform, ILT),取得time domain的解。

5.      數值解析(numerical solution):常用的有,(1)有限差分法(finite difference method)(2)旋轉積分(convolution integral),以及(3)Runge-Kutta數值方法。

 

另外,如果系統的外力,是週期性函數(periodic function),就需要用到傅立葉級數(Fourier series, FS)。更進階的任意函數,則有傅立葉轉換(Fourier transform, FT)、以及快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)FFT適用在數位化的、離散的、信號之頻譜分析(spectral analysis)

 

再其次,參閱圖示右上方,顯示了典型的外力激振MDOF(multiple degree of freedom)系統的模型,以及對應的運動方程式,就是一個二階的「聯立常微分方程式(coupled ODEs)。需要的是「矩陣理論(matrix theory),包括:

 

1.      矩陣的加、減、乘、除、逆矩陣、轉置矩陣、對稱矩陣、對角化矩陣等等。

2.      矩陣的行列式(determinant)

3.      矩陣的特徵值問題(eigenvalue problem),取得特徵值(eigenvalue)特徵向量(eigenvector)

 

更進階到結構的「連續系統(continuous system),系統的運動方程式,會是「偏微分方程式(partial differential equation, PDE),如圖片右下方,列舉兩個典型的案例:

 

1.      線側向振動(string lateral vibration):其運動方程式是二階(second order) PDE

2.      樑側向振動(beam lateral vibration):其運動方程式是四階(fourth order) PDE

 

如果,處理的是「隨機振動(random vibration),還需要一些「統計學(statistics)概念,簡要列舉如下:

 

1.      平均值(mean value)𝒙 ̅

2.      平方平均值(mean square value)(𝒙^𝟐 ) ̅

3.      平方平均根值(root mean square (rms) value)𝒙_𝒓𝒎𝒔

4.      標準差(standard deviation)𝝈𝒙

5.      機率密度函數(probability density function)𝒑(𝒙)

6.      機率分布函數(probability distribution function)𝑷(𝒙)

 

從以上的列舉討論,可以看到在「振動分析(vibration analysis),學習「工程數學(engineering mathematics),是很重要的背景知識。最後以典型的振動系統分類,來看對應的數學基礎:

 

1.      離散系統(discrete system)SDOF系統:就是二階的「常微分方程式(ordinary differential equation, ODE)

2.      離散系統(discrete system)MDOF系統:就是二階的「聯立常微分方程式(coupled ODEs)

3.      連續系統(continuous system):會是「偏微分方程式(partial differential equation, PDE)。如:線側向振動(string lateral vibration),其運動方程式是二階(second order) PDE樑側向振動(beam lateral vibration),其運動方程式是四階(fourth order) PDE

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2025.06.17

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