《振動噪音科普專欄》隨機的理想衝擊波(random ideal impact wave)，其頻譜會有甚麼特徵？

  

這個單元要來探討的主題是：「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？

 

因為要從「時間波形」(time waveform)，透過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得信號的「頻譜」(spectrum)。首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。

4.      Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。Overlap = 0%。

 

首先，參閱圖片右上圖示，瞭解一下甚麼是「理想衝擊波」(ideal impact wave)？因為，「時間波形」就是單一個脈衝信號(single impulse)，其「頻譜」會是「平頻譜」(flat spectrum)，這種頻譜，也稱為「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。

 

簡單來說：「理想衝擊波」，其「頻譜」，在所有的頻率，都為常數。

 

其次，參閱圖片右邊中間圖示，瞭解一下甚麼是連續的(continuous)、重複的(repeated)、週期的(periodic) 「理想衝擊波」(ideal impact wave)，左邊是「時間波形」(time waveform)，右邊是對應的「頻譜」，討論如下：

 

1.      「時間波形」：一系列連續的、重複的、週期的「理想衝擊波」，倆倆衝擊波之間的時間間隔固定，也就是「理想衝擊波」的「週期」(period)：𝑻𝒑 = 0.025 sec。

2.      「頻譜」：呈現一系列連續的、重複的、週期的「峰值」(peak)，這種「頻譜」特徵，稱為「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱「諧頻」、「諧波」。harmonics「簡諧倍頻」重複的「基礎頻率」(fundamental frequency)：𝒇𝒉 = 𝟏/𝑻𝒑 = 𝟏 / 0.025 = 40 Hz。𝒇𝒉「基礎頻率」會是「理想衝擊波」的𝑻𝒑「週期」之倒數。

 

這個單元要來探討的是：「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？參閱圖片左邊下方圖示，說明如下：

 

1.      「時間波形」：一系列連續的、隨機的「理想衝擊波」，衝擊波有正、有負，而且沒有固定的週期關係，是隨機的(random)衝擊波。

2.      「頻譜」：可以以Linear或是Logarithmic來觀察「頻譜」。當AVG=1，就是只取了1次的平均，呈現了隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。在Logarithmic「頻譜」，紅色曲線是原始的「頻譜」，黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)，可以觀察到，接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。若是AVG=5，就是取了5次的平均，同樣呈現了隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。這時，紅色的原始「頻譜」曲線，又更接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。黑色的「平滑化頻譜」(smoothed spectrum) 曲線，也是更加接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。

 

對於「理想衝擊波」(ideal impact wave)的「頻譜」，在所有的頻率，都為常數。所以是真正的「平頻譜」(flat spectrum)，這種頻譜，也稱為「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。

 

而「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)，其「頻譜」(spectrum)是接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。若是平均次數(Number of Averaged)取得越多，「頻譜」就越接近於「平的頻譜」(flat spectrum)，也就是越接近於「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。

 

綜合一下這個單元的討論：

 

1.      「理想衝擊波」(ideal impact wave)的「頻譜」：在所有的頻率，都為常數。所以是真正的「平頻譜」(flat spectrum)，這種頻譜，也稱為「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。

2.      連續的(continuous)、重複的(repeated)、週期的(periodic) 「理想衝擊波」(ideal impact wave) 的「頻譜」：呈現一系列連續的、重複的、週期的「峰值」(peak)，這種「頻譜」特徵，稱為「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱「諧頻」、「諧波」。harmonics「簡諧倍頻」重複的「基礎頻率」(fundamental frequency)：𝒇𝒉 = 𝟏/𝑻𝒑。𝑻𝒑是「理想衝擊波」的「週期」(period)。

3.      「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)的「頻譜」：是接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。若是平均次數(Number of Averaged)取得越多，「頻譜」就越接近於「平的頻譜」(flat spectrum)，也就是接近於「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.02.25

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《振動噪音科普專欄》結構受到重複的、週期的、連續的衝擊產生的振動波形，其頻譜會有甚麼特徵？

  

這個單元要來探討的主題是：結構受到重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？

 

首先，要取得正確的「頻譜」(spectrum)，必須對「時間波形」(time waveform)的信號，進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得信號的「頻譜」(spectrum)。

 

首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左下方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。

4.      Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。Overlap = 0%。

 

參閱圖片左邊圖示，是結構受到單一衝擊波(single impact)響應的「時間波形」(time waveform)，總量測時間：T = LOR / Fmax = 1.0 sec。對此響應的「時間波形」，進行FFT「快速傅立葉轉換」可以得到這個響應的「頻譜」(spectrum)。

 

如圖示的「時間波形」觀察起來，只是個衰減的隨機信號，透過FFT得到的「頻譜」，可以以Linear或是Logarithmic來觀察「頻譜」。可以發現有6個「峰值」(peak)，每一個「峰值」所對應的頻率，就是結構的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。這就是結構受到單一衝擊波(single impact)的響應，激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」之響應特徵。

 

這個單元要來看的是，如圖片右上方所呈現的結構受到重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)。一個是𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec，另一個是𝑻𝒑=𝟎.05 sec，𝑻𝒑是衝擊波的週期(period)。

 

對這兩個振動波形，分別進行FFT「快速傅立葉轉換」，可以取得信號的「頻譜」(spectrum)，如圖示，分別有Linear以及Logarithmic的「頻譜」。其重要的特徵，說明如下：

 

1.      「簡諧倍頻」(harmonics)：在𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec的「頻譜」，其「基礎頻率」(fundamental frequency)，𝒇𝒉=𝟏/𝑻𝒑 =𝟏/(𝟎.𝟏)=𝟏𝟎 Hz。在𝑻𝒑=𝟎.05 sec的「頻譜」，其「基礎頻率」(fundamental frequency)，𝒇𝒉=𝟏/𝑻𝒑 =𝟏/(𝟎.05)=2𝟎 Hz。一個「頻譜」，有如圖示的𝒇𝒉「基礎頻率」，呈現其倍數的「峰值」(peak)，這種頻譜特徵，就稱之為「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱：「諧頻」或「諧波」。

2.      「頻譜」曲線的趨勢特徵：由Logarithmic的「頻譜」，在𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec的「頻譜」，可以隱約觀察到和單一衝擊波(single impact)響應的趨勢，很相近。不過，在𝑻𝒑=𝟎.05 sec的「頻譜」，似乎沒有這麼明顯。

 

由「頻譜」曲線的趨勢特徵，為了明確瞭解之間的關聯性，參閱圖片中間的3個圖示，有標註了「峰值」(peak)的頻率，說明如下：

 

1.      在單一衝擊波(single impact)響應的「頻譜」：「峰值」(peak)的頻率有：105、213、286、410、635、855 Hz。

2.      在𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec的「頻譜」：「峰值」(peak)的頻率有：101、213、283、415、638、860 Hz。

3.      在𝑻𝒑= 𝟎.05 sec的「頻譜」：「峰值」(peak)的頻率有：102、205、287、410、635、860 Hz。

 

可以看出重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」(spectrum)，也有隱含了單一衝擊波(single impact)響應的「頻譜」特徵。也就是說，也激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」之響應特徵。

 

再觀察圖片右下方兩個圖示，分別劃出藍色的曲線，是對原始的紅色「頻譜」曲線，取平滑化處理的頻譜(smoothed spectrum)。可以觀察到，在𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec的「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)的趨勢，和在單一衝擊波(single impact)響應的「頻譜」，有非常相似的趨勢，可以佐證：重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，也激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」之響應特徵。

 

在𝑻𝒑=𝟎. 05 sec的「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)的趨勢，雖然沒有如𝑻𝒑=𝟎.𝟏 sec的「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)的趨勢，那麼明顯的對應。不過，仍然可以觀察到𝒇𝒓「自然頻率」之「峰值」(peak)頻率的對應。

 

由以上討論，可以知道，在單一衝擊波(single impact)響應，激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」之響應，所以，其「頻譜」會有多個𝒇𝒓「自然頻率」的「峰值」(peak)。

 

對於結構受到重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」會有兩個重要特徵：

 

1.      「簡諧倍頻」(harmonics)：會有𝒇𝒉「基礎頻率」(fundamental frequency)，呈現其倍數的「峰值」(peak)，這種頻譜特徵，就稱之為「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱：「諧頻」或「諧波」。𝒇𝒉「基礎頻率」來自重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)效應。而其harmonics「簡諧倍頻」的𝒇𝒉「基礎頻率」，𝒇𝒉=𝟏/𝑻𝒑，會和𝑻𝒑衝擊波的週期(period)，呈現倒數關係。

2.      激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)之響應特徵：由「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)的曲線趨勢，可觀察到，有結構的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)之「峰值」(peak)特徵，這是源自衝擊(impact)效應所導致。

 

綜合這個單元的討論：結構受到重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？總結如下：

 

1.      複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。

2.      觀察了結構受到單一衝擊波(single impact)響應的「頻譜」(spectrum)特徵：激發了結構的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)之響應，所以，其「頻譜」會有多個𝒇𝒓「自然頻率」的「峰值」(peak)。

3.      觀察了結構受到重複的(repeated)、週期的(periodic)、連續的(continuous) 衝擊(impact)，所產生的振動波形(vibration signal)，及其「頻譜」(spectrum)有兩個重要特徵：(1) 「簡諧倍頻」(harmonics)：其𝒇𝒉「基礎頻率」(fundamental frequency)，𝒇𝒉=𝟏/𝑻𝒑，會和𝑻𝒑衝擊波的週期(period)，呈現倒數關係。(2) 「簡諧倍頻」(harmonics)的趨勢曲線，隱含了結構受到單一衝擊波(single impact)響應的「頻譜」(spectrum)特徵，也就是「頻譜」會有多個𝒇𝒓「自然頻率」的「峰值」(peak)的趨勢曲線特徵。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.02.25

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《振動噪音科普專欄》結構受到衝擊產生的振動波形，如何取得正確的頻譜？

  

這個單元要來探討的主題是：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，如何取得正確的「頻譜」(spectrum)？

 

首先，要取得正確的「頻譜」(spectrum)，必須對「時間波形」(time waveform)的信號，進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得信號的「頻譜」(spectrum)。

 

首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。

4.      Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。同時，也會比較選用”Exponential”=「指數窗函數」的差異探討。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。Overlap = 0%。

 

摘錄前一個單元：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？參閱圖片右上方的3個系列圖示，選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，簡要回顧說明如下：

 

1.      衰減率(decay rate)：𝝈=𝟎，無阻尼(undamped)結構。

2.      衰減率(decay rate)：𝝈= 𝟏，微小阻尼(little damped)結構。

3.      衰減率(decay rate)：𝝈= 𝟓，較大阻尼(heavily damped)結構。

 

每個案例，第1個圖示為「時間波形」、第2個圖示為線性頻譜(Linear spectrum)、第3個圖示為對數頻譜(Logarithmic spectrum)，第4個圖示為實際進行FFT的「時間波形」。

 

由第2個圖示為線性頻譜(Linear spectrum)來觀察，3個「時間波形」(time waveform)的信號，其線性頻譜，似乎都有明確的得到對應的5個「峰值」(peak)，代表這個結構有5個振動模態(vibration modes)，「峰值」對應的頻率，就是結構的Natural frequencies 自然頻率 = 𝒇𝒓。

 

如第3個圖示為對數頻譜(Logarithmic spectrum)，同樣的頻譜，y軸取對數座標(Logarithmic coordinate)。當𝝈=𝟎，可以看出對數頻譜有明顯的、嚴重的「柵欄效應」(fence effect)。而𝝈= 𝟏，其對數頻譜有輕微的「柵欄效應」(fence effect)。在𝝈= 𝟓，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。

 

為什麼頻譜會出現「柵欄效應」(fence effect)這種現象(Situation)呢？在此，以【SCR】心法，來解析「柵欄效應」的現象、原因、對策：

 

1.      S = Situation 現象；對數頻譜會出現「柵欄效應」(fence effect)。

2.      C = Cause 原因：因為，時間波形，頭尾的信號，不一致。如𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，初始時間，x(t) = 0，在終止量測時間，t = 1.0 秒，其x(t)信號，不為0。這就是：時間波形，頭尾的信號，不一致。因而，導致了「柵欄效應」(fence effect)。當𝝈= 𝟓，在終止量測時間，t = 1.0 秒，其x(t)信號，已經趨近於0，所以，時間波形，頭尾的信號，有一致。就不會出現「洩漏」(leakage)，所以，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。

3.      R = Resolution 對策：針對𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，必須更換”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，採用”Exponential”=「指數窗函數」。

 

這個單元，就來介紹採用”Exponential”=「指數窗函數」，取代”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，進行FFT的差異比較。

 

首先，甚麼是”Exponential”=「指數窗函數」？參閱圖片右下方，列舉了每個案例的3個圖示，分別說明如下：

 

1.      原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)：也就是量測或分析取得的位移響應「時間波形」(time waveform)。在設定：Fmax = 1000 Hz、LOR = 1000 條，則：R = Fmax / LOR = 1.0 Hz，T = 1/ R = 1.0 s，所以總量測時間T = 1.0 s，頻率解析度R = 1.0 Hz。

2.      指數窗函數數據(Exponential window data)= 𝒘(𝒕)：參閱圖示，在t = 0，𝒘(𝒕) = 1，持續衰減，到t = 1.0，𝒘(𝒕) = 0.01 ~ 0。

3.      窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)=𝒙(𝒕)⋅𝒘(𝒕)：將𝒙(𝒕)和𝒘(𝒕)數據，兩兩對乘，及可得到窗函數加權後數據 𝒙_𝒘 (𝒕)，「時間波形」到t = 1.0，都呈現接近於0。可以改善，使得時間波形，頭尾的信號，有一致。如此，可以消除「洩漏」(leakage)，所以，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。

 

觀察圖片右邊中間圖示，一個是原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)和窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)，兩者的「時間波形」重疊圖顯示。𝒙_𝒘 (𝒕)有加大衰減率的效應，使得「時間波形」到t = 1.0，都呈現接近於0。

 

另一個圖示，是採用”Box”窗函數，和”Exponential”窗函數，所得到的對數頻譜(Logarithmic spectrum)比較，討論如下：

 

1.      針對𝝈=𝟎，𝝈= 𝟏，採用”Exponential”窗函數，如圖示的紅色線條，明顯的、完全移除了「柵欄效應」(fence effect)現象。又，因為”Exponential”窗函數，加大了衰減效應，會使得頻譜「峰值」(peak)的振幅值，變小。對解析自然頻率 𝒇𝒓，沒有影響。但是，後處理分析取得的模態阻尼比 𝝃𝒓，會有增大的效應。

2.      針對𝝈= 𝟓，兩種窗函數所得到的頻譜相近，採用”Exponential”窗函數，會降低的頻譜振幅值。其實，在𝝈= 𝟓，是沒有必要採用”Exponential”窗函數，因為採用”Box”窗函數，已經可以得到正確、有效的頻譜。

 

綜合一下這個單元的討論：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，如何取得正確的「頻譜」(spectrum)？總結如下：

 

1.      複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。

2.      採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，對𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，其頻譜有明顯的「柵欄效應」(fence effect)，所以是NG (No Good, No Go)。當𝝈= 𝟓，頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)，所以是OK的。也以【SCR】心法，來解析「柵欄效應」的S = Situation 現象、C = Cause 原因、R = Resolution 對策。需要採用”Exponential”=「指數窗函數」。

3.      介紹了”Exponential”=「指數窗函數」的特性，以及(1) 原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)，(2) 指數窗函數數據(Exponential window data)= 𝒘(𝒕)，(3) 窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)=𝒙(𝒕)⋅𝒘(𝒕)。三者之間的關係與特徵。

4.      比較了採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」以及”Exponential”=「指數窗函數」，進行FFT得到的頻譜之差異比較。如𝝈= 𝟓，當「時間波形」信號在終止時間，已經趨近於0，採用”Box” 窗函數即可。反之，如𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，如果「時間波形」信號在終止時間，沒有趨近於0，就必須採用”Exponential”「指數窗函數」，才可得到正確、有效的頻譜。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.02.05

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