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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(10):Receptance位移率、Mobility移動率、Accelerance加速率之FRF頻率響應函數的定義?有甚麼特性與差異?

 

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的10,要來探討的主題是:Receptance位移率」、Mobility移動率」、以及Accelerance加速率」,這三種頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)的定義(definition)?並且會透過「頻率響應函數FRF的圖示,來探討其特性與差異。

 

首先,快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

在解析「頻率響應函數FRF,會定義系統的「輸入參數」,假設受到了簡諧外力」激振,例如是正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其中,𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。

 

當這個正弦波的簡諧外力」,作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出,有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

其中,有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應」,可以寫出位移響應方程式:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

特別有興趣的是「位移振幅𝑿 相位角𝝓。為了有效率的全盤了解穩態位移響應」的特性,所以,定義了頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇)

 

1.      𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。

2.      𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

3.      𝑯(𝒇) =穩態位移振幅/外力振幅

 

這樣,可以快速知道𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)的關係。又,因為不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

在前一個單元#222,【SDOF簡諧激振FRF系列(9):頻率響應函數(FRF)有哪些型式?,已經推導出穩態位移響應」、「穩態速度響應」以及「穩態加速度響應」,整理如下:

 

1.      穩態位移響應」:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),其中,𝑿=位移振幅 (m)

2.      穩態速度響應」:𝑣(𝒕)=𝑿𝝎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓) =𝑽𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓),其中,𝑽 =𝑿𝝎𝑽=速度振幅 (m/s)

3.      穩態加速度響應」:𝑎(𝒕)=−𝑿𝝎^𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓) =𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓),其中,𝑨 = −𝑿𝝎^𝟐𝑨 =加速度振幅 (m/s^2)

 

根據頻率響應函數FRF的定義是:𝑯(𝒇)=輸出/輸入,當輸入都是外力,而輸出分別為:位移速度加速度時,其「頻率響應函數FRF有其定義的名稱,統整如下:

 

1.      Receptance位移率= 位移 / 外力

2.      Mobility移動率= 速度 / 外力。也有稱為Mechanical Mobility機械移動率」。

3.      Accelerance加速率= 加速度 / 外力

 

針對外力激振的SDOF系統,以上三種「頻率響應函數FRF的表示式,統整如下:

 

1.      Receptance位移率= 𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏 / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

2.      Mobility移動率= 𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝒊𝝎 / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

3.      Accelerance加速率= 𝑯𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = (𝝎^𝟐) / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]

 

其中,𝝎=𝟐𝝅𝒇,為外力的激振頻率」,可以看出兩兩之間,相差了𝒊𝝎的倍數,因為複數 𝒊 的關係,就會有90度的相位角差,而(𝒊𝝎)^2等於(𝝎^𝟐),則是相當於有180度相位角差。

 

可以知道,「頻率響應函數FRF是一種通稱的名詞,其定義是:𝑯(𝒇) = 輸出/輸入,就看對哪一個輸出」參數有興趣。如果,「輸入」都是「外力」,從實務上來看,就看是使用哪一種感測器(sensor)量測「輸出」參數,以得到對應的頻率響應函數FRF

 

1.          如果,採用近接式位移探頭(proximity probe)或是渦電流位移計(Eddy current sensor, ECS),量測到的是位移(displacement),這時候,直接量測到的FRF就是Receptance位移率= 位移 / 外力。

2.          如果,採用的感測器是速度計(velocimeter, velocity transducer),量測到的是速度(velocity),這時候,直接量測到的FRF就是Mobility移動率= 速度 / 外力。

3.          如果,採用的感測器是加速度規(accelerometer),量測到的是加速度(acceleration),這時候,直接量測到的FRF就是Accelerance加速率= 加速度 / 外力。

 

實務上,最常用的感測器,就是加速度規,所以得到的FRFAccelerance加速率」,可以透過三個FRF的關係式,可分別得到Mobility移動率」和Receptance位移率」。

 

在此,列舉的實際數值案例,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.48 (N/m),也就是mck固定。由「系統參數」:mck,可以推算得到「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)阻尼比𝝃 =0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以都是次阻尼狀態。

 

參閱圖示,可以分別得到Receptance位移率」、Mobility移動率」、以及Accelerance加速率」,又因為,這三個FRF,都是複數(complex number),可以畫出其5種圖示,討論如下:

 

1.      在「振幅(amplitude):可以觀察到在激振頻率 𝒇 =1 (Hz),都有一個峰值(peak),對應的就是此SDOF系統的自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)。也就是當𝒇𝒇𝒏,會有共振」,系統響應會最大。可觀察 𝒇 =1 (Hz)時,所對應的振幅值」,「位移率𝑯𝒙(𝒇) = 0.15 (m/N)移動率𝑯𝒗(𝒇) = 1 ((m/s)/N)加速率𝑯𝒂(𝒇) = 6.28 ((m/s^2)/N),其間的倍數關係是𝝎=𝟐𝝅𝒇,因為,𝒇 =1 (Hz),所以,會有𝝎=𝟐𝝅=6.28的倍數關係。

2.      在「相位角(phase angle):在 𝒇 =0 (Hz),三個FRF所對應的相位角,分別是0度、90度、180度,這就是前面所提到的:速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)90度相位角;加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)90度相位角;加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)180度相位角。另一個角度來看,就是因為三個FRF兩兩之間,相差了𝒊𝝎的倍數,因為複數 𝒊 的關係,就會有90度的相位角差。在實務上,由FRF尋找可能的自然頻率,可以觀察有180度相位角變化的頻率位置,會是系統的「自然頻率𝒇𝒏。同時,在𝒇= 𝒇𝒏時,其「相位角」會剛好是在各別FRF所對應變化180度相位角的中間值,在位移率𝑯𝒙(𝒇),是 90度,在移動率𝑯𝒗(𝒇),是0度,在加速率𝑯𝒂(𝒇),是90度。

3.      在「實數部(real):在位移率𝑯𝒙(𝒇)加速率𝑯𝒂(𝒇),其自然頻率𝒇𝒏會出現在,通過0」的頻率。而移動率𝑯𝒗(𝒇)自然頻率𝒇𝒏會出現在,有最大峰值」的頻率。

4.      在「虛數部(imaginary):和實數部(real)圖的特徵,剛好相反,在位移率𝑯𝒙(𝒇)加速率𝑯𝒂(𝒇),其自然頻率𝒇𝒏會出現在,有最大峰值」的頻率。而移動率𝑯𝒗(𝒇),其自然頻率𝒇𝒏會出現在,通過0」的頻率。會有這樣的變化差異,是因為三個FRF兩兩之間,相差了𝒊𝝎的倍數,因為複數 𝒊 的關係,就會有90度的相位角差,使得「自然頻率𝒇𝒏會出現在,有最大峰值」的頻率、或是在通過0」的頻率。在實務上,通常採用的感測器是加速度規(accelerometer),量測到的是加速度(acceleration),這時候,FRF就是Accelerance加速率」,可以從「虛數部(imaginary)圖,觀察有最大峰值」的頻率,會是系統的「自然頻率」。而從「實數部(real)圖看,通過0」的頻率,會是系統的「自然頻率」。

5.      在「奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」,三個FRF的曲線圖,都會各自形成一個「圓圈」,所以也有稱之為circle plot三個FRF的曲線圖,激振頻率由小到大,都是順時針旋轉。在「位移率𝑯𝒙(𝒇),「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。在「移動率𝑯𝒗(𝒇),「實數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。在Accelerance加速率」,「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。

 

最後統整這個單元的討論,定義了三個「頻率響應函數FRF,分別是:

 

1.      Receptance位移率= 位移 / 外力

2.      Mobility移動率= 速度 / 外力

3.      Accelerance加速率= 加速度 / 外力

 

又因為三個FRF都是複數,所以分別透過5種圖示,探討其現象與物理意義,包括:(1) 振幅(amplitude)圖、(2) 相位角(phase angle)圖、(3) 實數部(real)圖、(4) 虛數部(imaginary)(5) 奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.07.08

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