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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列(6):負值黏滯阻尼係數,對振動響應有甚麼影響?

這個單元是SDOF簡諧激振系列的6,要來探討的主題是:負值黏滯阻尼係數,對振動響應有甚麼影響?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考左下方的圖示,就是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

以下舉實際的數值案例,進行分析,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = –0.5 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = –0.0398。因為, 0 < 𝝃 <1,就是阻尼狀態。注意,這個單元特別要探討的是負值黏滯阻尼係數,對振動響應有甚麼影響?

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇,令簡諧外力振幅𝑭 = 0.2 (N)。為了探討不同「簡諧外力」的「激振頻率𝒇 之影響,分別令:𝒇 = 0.6 (Hz) =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏𝒇 = 1.0 (Hz) =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏𝒇 = 1.4 (Hz) =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏。分別有共振激振(resonant excitation)的狀態,也就是𝒇 =𝒇𝒏,以及非共振激振(non-resonant excitation)的狀態,𝒇𝒇𝒏

 

再定義系統的「輸入參數」,也就是兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移𝒙𝟎及「初始速度𝒗𝟎。在此,都假設為0,也就是:𝒙𝟎 = 0 (m)𝒗𝟎 = 0 (m/s)

 

參閱右邊中間圖示的動畫,呈現了c =0.5 (N / m/s)𝝃 =0.0398 (負次阻尼),在簡諧外力」激振,𝒇 =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏𝒇 =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏𝒇 =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏,也就是三種不同激振頻率」的質塊位移響應𝒙(𝒕),說明如下:

 

1.      𝒇 =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏,以及𝒇 =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏:兩者都是非共振激振」,可觀察到隨著時間增長,位移響應會逐次放大,甚至到無窮大,這是因為在「次阻尼」狀態,在「阻尼」會有消散能量進而抑制振動,反之,在「阻尼」狀態,會有增大能量而加劇振動增大響應。

2.      𝒇 =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏:這是共振激振」,已經知道「共振」會引發大的振動量,在「阻尼」時,會有一定程度的抑制振動,由於在此是「阻尼」狀態,使得增大能量而加劇振動增大響應,同時,又是「共振激振」,可以觀察在相同的20 sec之內,其最大的位移振幅𝑿=6 (m),比起前述兩個「非共振激振」的狀態,大約有10倍大的響應。

 

接著,再增大負值黏滯阻尼係數」,觀察下方左邊的動畫,呈現了c =1 (N / m/s)𝝃 =0.07958 (負次阻尼),以及𝒇 = 𝒇𝒏共振激振」下,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以觀察在相同的20 sec之內,其最大的位移振幅高達𝑿=400 (m),比起c =0.5 (N / m/s)𝝃 =0.0398 (負次阻尼)最大的位移振幅𝑿=6 (m),飆高了許多,除了是「共振」會引發大的振動量外,最主要是更小的「阻尼」狀態的影響。

 

再回顧一下,觀察下方中間的動畫,呈現了c = 0 (N / m/s),ξ= 0 (阻尼)時,以及𝒇 = 𝒇𝒏共振激振」下質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以發現會隨著時間增長,位移響應會逐次放大,可以觀察在相同的20 sec之內,其最大的位移振幅大約只有 𝑿=0.3 (m),由此對照的比較,可以知道「阻尼」會大大增大了能量,使得系統的振動加劇,增大了質塊位移響應。

 

最後回顧一下「阻尼」狀態的響應,觀察下方右邊的動畫,呈現了c = 0.1 (N / m/s),ξ= 0.00796 (正次阻尼)時,以及𝒇 = 𝒇𝒏共振激振」下質塊的位移響應𝒙(𝒕),盡管隨著時間增長,位移響應會逐次放大,但是因為有「阻尼」的效應,最後仍會抑制在一個量值範圍,呈現出「穩態響應」,在此案例最大的穩態位移振幅大約只有 𝑿=0.17 (m)

 

綜合一下這個單元的討論,著重在負值黏滯阻尼係數」之探討,也就是阻尼」狀態的系統響應,總結如下:

 

1.      c = 0 (N / m/s),ξ= 0 (阻尼)時,又是𝒇 = 𝒇𝒏 共振激振」:質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以發現會隨著時間增長,位移響應會逐次放大,在相同的20 sec之內,其最大的位移振幅大約只有 𝑿=0.3 (m)

2.      c =0.5 (N / m/s)𝝃 =0.0398 (負次阻尼)時,不管是𝒇 = 𝒇𝒏 共振激振」、或是𝒇𝒇𝒏 非共振激振」:質塊的位移響應𝒙(𝒕),也可以發現都會隨著時間增長,位移響應會逐次放大,在相同的20 sec之內,其最大的位移振幅,對不同「簡諧外力」的「激振頻率」,分別為 𝑿=0.4 (m)𝑿=6 (m)𝑿=0.6 (m),都比前項的阻尼」的𝑿=0.3 (m)要大,這是因為「阻尼」的效應,會增大能量,使得系統的振動加劇,增大了質塊位移響應。在此可知,如果系統的阻尼是「阻尼」狀態,是不樂見的情形,因為,會使得振動增大

3.      c = 0.1 (N / m/s),ξ= 0.00796 (正次阻尼)時,不管是𝒇 = 𝒇𝒏 共振激振」、或是𝒇𝒇𝒏 非共振激振」:質塊的位移響應𝒙(𝒕),也可以發現都會隨著時間增長,位移響應會逐次放大,但是因為有「阻尼」的效應,最後仍會抑制在一個量值範圍,呈現出「穩態響應」,在此案例最大的穩態位移振幅大約只有 𝑿=0.17 (m)

 

簡而言之,負值黏滯阻尼係數」,也就是「阻尼」狀態,對於結構系統而言,是一種不良的現象,會造成結構大的振動響應,應該要避免系統有「阻尼」的效應。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.04.03