這個單元要來探討的主題是：如何檢查「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作？這是這個系列的第11篇，針對第5項的功能檢查：5. 關聯性函數檢查(COH Check)，本單元介紹「關聯性函數」(coherence function, COH)的基本原理(Principle)以及相關背景知識。
首先，回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，參閱圖示右上方，EMA量測數據之信號處理流程圖，簡要說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)：「時間波形」(time waveform)，是EMA實驗量測的「原始數據」(raw data)。𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊(𝒕) 分別是敲擊外力和加速度響應的數據。
2. 𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)：「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)：「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)，以及 𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)：「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)，都是透過PSD分析取得。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是透過FRF分析取得。
5. 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，是透過COH分析取得。
這個單元著重在COH分析，也就是「關聯性函數」(coherence function, COH)的分析，參閱【EMA量測數據之信號處理流程圖】下方圖示，是對應流程圖中𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)函數的量測分析。
接下來，就以【4W】心法來思考：
1. What is? 甚麼是COH「關聯性函數」？
2. Why to do? 為什麼要取得COH「關聯性函數」？
3. What goal? 取得COH「關聯性函數」要達到甚麼目標？
4. How to do? 如何取得COH「關聯性函數」？
What is? 甚麼是COH「關聯性函數」？讀者可參閱先前單元：#363，【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)？】。在此針對其定義(definition)，簡要說明：𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
[𝑮𝒋𝒊(𝒇) 𝑮𝒊𝒋(𝒇)]
/ [𝑮𝒊𝒊(𝒇) 𝑮𝒋𝒋(𝒇)]。
COH「關聯性函數」 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)是指兩個信號之間的關聯性。典型的EMA「實驗模態分析」，𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)係指𝒇𝒋(𝒕)輸入的外力以及
𝒂𝒊(𝒕)輸出的加速度，兩者之間的關聯性。
COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)，其數值對應的特性，如下：
1. 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
0：代表兩個信號之間，完全不相關。
2. 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
1：代表兩個信號，完全相同。
3. 0 ≤ 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) ≤
1：一般而言，兩個信號之間，或多或少都有相關，所以，COH會介於0~1之間。在EMA「實驗模態分析」，判斷FRF「頻率響應函數」的可應用性，大原則：COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) > 0.9以上。
Why to do? 為什麼要取得COH「關聯性函數」？就是要了解𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數之間的相關性，特別是在頻率域(frequency domain)的關係，就是圖示中的𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)函數。
What goal? 取得COH「關聯性函數」要達到甚麼目標？當然就是要能夠計算得到正確的COH「關聯性函數」𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇)。
How to do? 如何取得COH「關聯性函數」以及驗證COH呢？在實驗量測中，由於經過數位化處理(digitization)，FRF「頻率響應函數」不能直接由傅立葉頻譜取得，必須由PSD功率頻譜，才能取得正確的FRF「頻率響應函數」。同樣的COH「關聯性函數」也是由如上定義的PSD功率頻譜所計算求得：𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
[𝑮𝒋𝒊(𝒇) 𝑮𝒊𝒋(𝒇)]
/ [𝑮𝒊𝒊(𝒇) 𝑮𝒋𝒋(𝒇)]。
由實驗分析取得FRF，也就是透過「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)，要如何計算得到FRF，在先前單元有介紹兩種FRF「頻率響應函數」估測方法(FRF estimator)，摘錄說明如下：
1. 𝑯𝟏(𝒇)：參閱圖片右邊中間圖示，”No Input Noise,
Uncorrelated Output Noise”，也就是假設輸入端的量測，沒有雜訊(noise)，在輸出端的量測，存在沒有相關性的雜訊(Uncorrelated noise)，以𝜺𝒂(𝒕)表示加速度規量測到的雜訊。可以推導得到：𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒂𝒇(𝒇) =
𝑮𝒇𝒂(𝒇) / 𝑮𝒇𝒇(𝒇)。如果以𝑨𝒊、𝑭𝒋表示，𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒋𝒊(𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)。
2. 𝑯𝟐(𝒇)：參閱圖片右邊下方圖示，”No Output Noise, Uncorrelated Input Noise”，也就是假設輸出端的量測，沒有雜訊(noise)，在輸入端的量測，存在沒有相關性的雜訊(Uncorrelated noise)，以𝜺𝒇(𝒕)表示外力量測到的雜訊。可以推導得到：𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒂𝒇(𝒇) =
𝑮𝒂𝒂(𝒇) /
𝑮𝒂𝒇(𝒇)。如果以𝑨𝒊、𝑭𝒋表示，𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒊𝒊(𝒇)/𝑮𝒊𝒋(𝒇)。
原理上，由𝑯𝟏(𝒇)或𝑯𝟐(𝒇)，都可以計算求得FRF「頻率響應函數」，以EMA「實驗模態分析」來說，因為，外力輸入通常是可控制的，可以忽略𝜺𝒇(𝒕)雜訊的影響，僅考慮加速度規輸出的𝜺𝒂(𝒕)雜訊，所以說：𝑯𝟏(𝒇) 是較佳的FRF估測方法(FRF estimator)。一般的「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)，在FRF「頻率響應函數」的計算，大都採用𝑯𝟏(𝒇)。
除了由PSD功率頻譜，計算求得：COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
[𝑮𝒋𝒊(𝒇) 𝑮𝒊𝒋(𝒇)]
/ [𝑮𝒊𝒊(𝒇) 𝑮𝒋𝒋(𝒇)]。也可以由𝑯𝟏(𝒇)和𝑯𝟐(𝒇)計算求得：COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
𝑯𝟏(𝒇) / 𝑯𝟐(𝒇)。
瞭解了COH「關聯性函數」的實驗分析計算方法，其次，來看COH Check的原理(Principle)，令𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出，也就是：𝒇𝒋 (𝒕)
= 𝒂𝒊(𝒕)，而且都是隨機的(random)信號。
因為𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭，所以，COH的振幅值(amplitude)會等於1，COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =𝟏。就是利用這個特性，來進行COH Check。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，參閱圖示右上方，EMA量測數據之信號處理流程圖，從「時間波形」(time waveform)，進行FFT分析，取得「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，再透過PSD分析，可以取得「功率頻譜密度」(Power Spectral Density, PSD)函數，進而由FRF分析，可以得到「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數」(coherence, COH)。本單元重點在：COH分析的基本原理。
2. 以【4W】的心法：(1) What is? 甚麼是COH「關聯性函數」？(2) Why to do?
為什麼要取得COH「關聯性函數」？(3) What goal? 取得COH「關聯性函數」要達到甚麼目標？(4) 如何取得COH「關聯性函數」？做了概述探討其定義(definition)：COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
[𝑮𝒋𝒊(𝒇) 𝑮𝒊𝒋(𝒇)]
/ [𝑮𝒊𝒊(𝒇) 𝑮𝒋𝒋(𝒇)]。
3. 由實驗分析取得COH：介紹兩種FRF「頻率響應函數」估測方法(FRF estimator)，(1) 𝑯𝟏(𝒇)：假設”No Input Noise, Uncorrelated
Output Noise”，𝑯𝟏(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)。(2)
𝑯𝟐(𝒇)：假設”No Output Noise,
Uncorrelated Input
Noise”，𝑯𝟐(𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇) = 𝑮𝒊𝒊 (𝒇)/𝑮𝒊𝒋(𝒇)。其中，𝑯𝟏(𝒇)是常用的、最佳的FRF estimator。所以，可知：COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =
𝑯𝟏(𝒇)
/ 𝑯𝟐(𝒇)。
4. COH Check的原理(Principle)：令𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出，也就是：𝒇𝒋 (𝒕)
= 𝒂𝒊(𝒕)，而且都是隨機的(random)信號。因為𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭，所以，COH的振幅值(amplitude)會等於1，𝜸𝒊𝒋^𝟐(𝒇) =𝟏。就是利用這個特性，來進行COH Check。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.08.03
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