《振動噪音產學技術聯盟》一個結構的阻尼比(damping ratio)只有一個嗎？

這個單元要來探討的主題是：一個結構的「阻尼比」(damping ratio)只有一個嗎？這是在實務上，常常會問到的問題。

 

首先，就破題來看，當我們說「阻尼比」(damping ratio)，其實隱含的就是採用了「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，代表阻尼的模態參數(modal parameters)，完整的名詞是：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，常常簡稱為「阻尼比」(damping ratio)。

 

在SDOF (single degree-of-freedom)單自由度系統，採用「黏滯阻尼模型」假設，參閱圖片右上方，呈現系統模型的示意圖、物理域(physical domain)運動方程式、系統參數、以及系統的模態參數(modal parameters)，重點摘述如下：

 

1.      系統模型(system model)：可以區別出輸入(Input)：「外力」𝒇(𝒕)作用，以及初始條件，𝑥0以及𝑣0。輸出(Output)：質塊的「位移」𝒙(𝒕) 響應。

2.      系統參數(system parameter)：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。

3.      系統的模態參數(modal parameters)：𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎) (rad/s)。以及，𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。

4.      物理域(physical domain)運動方程式：可參閱圖片所示，是一個二階的常微分方程式(second order Ordinary Differential Equation, ODE)。

 

其次，本單元主題的關鍵詞之一：一個結構(structure)。必須有一個認知，每個結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：

 

1.      𝝎𝒓：第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)。

2.      {𝝓𝒓 }：第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)。

3.      𝝃𝒓：第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，簡稱「阻尼比」(damping ratio)。

 

在此，參閱圖片右邊中間圖示，例舉具有「黏滯阻尼模型」的MDOF (multiple degree-of-freedom)多自由度系統。如果，對此系統模型進行模態分析(modal analysis)，就可以得到 𝒏 組的「振動模態」，每個「振動模態」都會有三個「模態參數」。而且，𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，此三個「模態參數」是成對出現，一一相互對應。其中，𝒏 是此MDOF多自由度系統的自由度數量。

 

針對SDOF單自由度系統，「振動模態」只有 1個，其「模態參數」，包括：𝝎𝒏「無阻尼自然頻率」以及𝝃「黏滯阻尼比」。所以，SDOF單自由度系統，確實只有一個「阻尼比」(damping ratio)。

 

針對MDOF多自由度系統，如果是 𝒏 個自由度的系統，則有 𝒏 個「振動模態」。每個「振動模態」有三個「模態參數」，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。所以，MDOF多自由度系統，有 𝒏 個「阻尼比」(damping ratio)。

 

接著來看，如果是一個連續系統(continuous system)，例如，圖片右下方的響鈴板結構，此連續系統結構，則有 ∞ 無窮多個「振動模態」。每個「振動模態」有三個「模態參數」，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…。所以，連續系統結構，有∞ 無窮多個「阻尼比」(damping ratio)。

 

實務上，分析如圖示的響鈴板結構，常採用有限元素分析(finite element analysis, FEA)，可得到如圖示的有限元素分析模型(finite element model, FE model)，其表示的系統方程式，會如MDOF多自由度系統的運動方程式。

 

雖然連續系統，理論上有 ∞ 無窮多個「振動模態」，實務上，會對低頻率範圍的前幾個「振動模態」會有興趣，因為，會是主導結構振動響應的主要貢獻度之來源。

 

綜合這個單元討論，一個結構的「阻尼比」(damping ratio)只有一個嗎？可以說：是，如果系統是SDOF單自由度系統。也可以說不是，要看結構系統模型的特性，是MDOF多自由度系統、或是為連續系統(continuous system)。總結如下：

 

1.       當我們說「阻尼比」(damping ratio)，其實隱含的就是採用了「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，代表阻尼的模態參數(modal parameters)，完整的名詞是：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，常常簡稱為「阻尼比」(damping ratio)。

2.       必須有一個認知，每個結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：𝝎𝒓，第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)、{𝝓𝒓 }，第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)、以及𝝃𝒓，第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，也常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。

3.       一個結構的「阻尼比」(damping ratio)，有幾個？(1) 如果是SDOF單自由度系統，「阻尼比」確實只有1個。(2) 如果是MDOF多自由度系統，「阻尼比」會有 𝒏 個。(3) 如果是連續系統(continuous system)，「阻尼比」會有 ∞ 無窮多個。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.09.30

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