這個單元要來探討的主題是：兩個Sine波合成Beating信號，有「洩漏」(Leakage)，採用Hanning和Box窗函數，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同？
因為要從「時間波形」(time waveform)，透過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得合成信號的「頻譜」(spectrum)。首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 800 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 0.25 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元討論的是有「洩漏」(Leakage)的Sine波，所以，必須選用”Hanning”=「漢寧窗函數」。另外，也探討選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」的影響，以及正確的FFT參數設定方式。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 5次。Overlap = 0%。
針對如何設定FFT參數，才能夠取得正確的、分離出兩個獨立sine波的「頻譜」(spectrum)？回顧總結如下：
1. 採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」：在「頻譜」，要有效的分離出兩個峰值(peak)，FFT參數設定，必需：R ≤ dF/2。其中，R = Fmax / LOR。
2. 採用”Hanning”=「漢寧窗函數」：在「頻譜」，要有效的分離出兩個峰值(peak)，FFT參數設定，必需：R ≤
dF / 2 / WF = dF / 2 / 1.5。其中，R =
Fmax
/ LOR。WF=1.5是”Hanning” 窗函數的「窗函數因子」(window factor, WF)。因為，當採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，對於頻譜的解析度變差了，會加大「頻帶寬度」(band width, BW)，BW = WF*R。BW是「頻帶寬度」(band width, BW)，相當於採用”Hanning”的頻率解析度(resolution)。
參閱圖片的左下方兩個圖示，針對「無洩漏」(without Leakage)的Beating信號，採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，理念上，FFT 參數的R要夠小，才能夠正確的分離兩個相近Sine波頻率差=dF。已知：R = Fmax / LOR。要讓R夠小，有兩種方式：
1. 固定Fmax，增大LOR：參閱左下方圖示，令：Fmax = 200 Hz，LOR = 800 條。所以：R =
Fmax
/ LOR
= 0.25
Hz。BW=WF*R =0.375 Hz。因為，dF = 1 Hz。可以滿足：BW=WF*R ≤ dF/2。也就是：R ≤ dF /
2 / WF = dF / 2 / 1.5，R = 0.25 Hz ≤ dF /
2 / 1.5 =
0.33 Hz。因而，頻譜可以正確的分離兩個相近Sine波頻率差=dF。
2. 固定LOR，減小Fmax：參閱左下方圖示，令：Fmax = 100 Hz，LOR = 400 條。所以：R =
Fmax
/ LOR
= 0.25
Hz。BW=WF*R =0.375 Hz。因為，dF = 1 Hz。可以滿足：BW=WF*R ≤
dF/2。也就是：R ≤ dF /
2 / WF = dF / 2 / 1.5，R = 0.25 Hz ≤ dF /
2 / 1.5 =
0.33 Hz。因而，頻譜可以正確的分離兩個相近Sine波頻率差=dF。
這個單元要來看「有洩漏」(with Leakage)的Beating信號，參閱圖片右上，如果，𝑭1 = 10.2 Hz，𝑭2 = 11.2 Hz，兩者的頻率差=dF=1 Hz。所以，「拍振頻率」(Beating
frequency)=Fb = dF。因此，Tb「拍振週期」=Tb=1/dF =
1/1 = 1 sec。
為什麼是「有洩漏」(with Leakage)的信號呢？取決於所設定的FFT 參數。在此，FFT 參數關係：
1. 頻率解析度R = Fmax / LOR：R = 200 / 800 = 0.25 Hz。
2. 取樣時間T = 1 / R：T = 1 / 0.25 = 4 sec。
「有洩漏」(with Leakage)現象時，以本案例來說，因為，𝑭1 = 10.2 Hz，𝑭2 = 11.2 Hz，又R = 0.25 Hz，𝑭1 / R ≠ 整數，𝑭2 / R ≠ 整數。所以，進行FFT分析，得到的「頻譜」(spectrum)就會有「洩漏」(Leakage)現象。因此，必須採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，才可減小「頻譜」的「洩漏」(Leakage)現象。
另外，要有一個認知，實務上，量測到的振動信號，都可能有任意數值的頻率，幾乎不會是剛好F1 / R = 整數，F2 / R = 整數。所以，實務上，都是會採用”Hanning”=「漢寧窗函數」。
為了瞭解採用”Hanning”或”Box”窗函數處理的差異，針對「有洩漏」(with Leakage)現象的Beating信號，其𝑭1 = 10.2 Hz，𝑭2 = 11.2 Hz，所以，dF =
1 Hz。分別取得「頻譜」，參閱圖片右邊圖示，比較討論如下：
1. 「頻譜」之頻率解析效果：若是採用”Box”，必須：R ≤ dF / 2。R = 0.25 Hz ≤ dF /
2 =
0.5Hz。所以，可以分辨出兩個頻率。但是，由於「頻譜」呈現「有洩漏」(with Leakage)現象，類似於共振(resonance)效應，又由「頻譜」的對數座標圖示來看，會誤判是兩個自然頻率所引發的「共振」效應。若是採用”Hanning”，必須：R ≤ dF / 2 / WF = dF / 2 / 1.5。R = 0.25 Hz ≤ dF /
2 / 1.5 =
0.33 Hz。除了，可以分辨出兩個頻率。同時，由「頻譜」可以明確地辨識出兩個獨立峰值(peaks)，是可以正確的解析出兩個獨立Sine波的Beating效應。
2. 「頻譜」之振幅解析效果：由對數座標的「頻譜」標示，採用”Box”，分辨出兩個頻率的量值：0.866@10.25 Hz、0.980@11.25 Hz，其中，0.866偏低於1.0。而且，「頻譜」的峰值(peaks)有明顯的「洩漏」(Leakage)現象。採用”Hanning”， 分辨出兩個頻率的量值：0.977@10.25 Hz、0.977@11.25 Hz，不僅沒有「洩漏」(Leakage)現象，而且其中，兩個頻率的振幅都更接近於1.0。顯示，採用”Hanning”，有比較正確的振幅解析。
綜合這個單元的討論，當兩個Sine波，所合成的Beating信號，有「洩漏」(Leakage)，採用Hanning和Box窗函數，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同？總結如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 針對有Beating現象的「時間波形」，若是採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，在「頻譜」，要有效的分離出兩個峰值(peak)，FFT參數設定，必需：R ≤ dF/2。其中，R = Fmax / LOR。
3. 針對有Beating現象的「時間波形」，若是採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，在「頻譜」，要有效的分離出兩個峰值(peak)，FFT參數設定，必需：R ≤ dF / 2 / WF = dF / 2 / 1.5。其中，R = Fmax / LOR。WF=1.5是”Hanning” 窗函數的「窗函數因子」(window factor, WF)。當採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，對於頻譜的解析度變差了，會加大「頻帶寬度」(band width, BW)，BW = WF*R。BW是「頻帶寬度」(band width, BW)，相當於採用”Hanning”的頻率解析度(resolution)。
4. 針對「無洩漏」(without Leakage)的Beating信號，採用”Hanning”=「漢寧窗函數」，理念上，FFT 參數的R要夠小，才能夠正確的分離兩個相近Sine波頻率差=dF。因為，R = Fmax / LOR，所以有兩種方式：(1) 固定Fmax，增大LOR，(2)
固定LOR，減小Fmax。
5. 針對「有洩漏」(with Leakage)的Beating信號，必須採用”Hanning”，不可採用”Box”，才可有：(1) 良好頻率解析之「頻譜」，(2) 良好振幅解析之「頻譜」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2026.01.19
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