這個單元要來探討的主題是：兩個Sine波合成信號，「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？– 不同「相位角」(phase angle)。
當有兩個Sine波，分別有不同的「相位角」(phase angle)，合成為一個信號，可得到其「時間波形」(time waveform)，再經過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，可以得到此合成信號的「頻譜」(spectrum)。
首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元討論的是無「洩漏」(Leakage)的Sine波，所以，選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。
一個Sine波信號，其數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝑭𝟎 𝒕+𝝓)。其中，𝑨是Sine波的「振幅」(amplitude)，𝑭𝟎是Sine波的「頻率」(frequency)，𝝓是Sine波的「相位角」(phase angle)。
須注意，方程式中「相位角」的單位是rad弳度(radian)，不過通常會以degree角度(angle)表示。另外，此Sine波的方程式，若是取任意的𝝓「相位角」，此信號可以統稱為「簡諧波」(harmonic wave)。
觀察圖片左下方圖示，列舉三個Sine波信號、或稱「簡諧波」(harmonic wave)，說明如下：
1. Sine波，無洩漏，𝑨
= 1, 𝑭𝟎= 10.0 Hz, 𝝓=𝟎°：為什麼是「無洩漏」(No Leakage)呢？因為，𝑭𝟎 / R =整數，可以在取樣的時間範圍T = 1 / R = 1 sec，取得完整的10個週期的信號，其「時間波形」最大、最小的振幅值為+1、-1，因為，𝑨
= 1。此信號的「頻譜」，在𝑭=
10 Hz，會有「振幅」(amplitude)是1。這就是單一頻率Sine波的「頻譜」特徵。
2. Sine波，無洩漏，𝑨
= 1, 𝑭𝟎= 10.0 Hz, 𝝓=9𝟎°：如果，𝝓=9𝟎°，「時間波形」呈現出是Cosine波的特徵，所以說，Cosine波會領先Sine波，有90度相位角。觀察此Cosine波「頻譜」的「振幅」(amplitude)圖，也是在𝑭= 10 Hz，「振幅」是1。
3. Sine波，無洩漏，𝑨
= 1, 𝑭𝟎= 10.0 Hz, 𝝓=18𝟎°：如果，𝝓=18𝟎°，「時間波形」呈現出是反向的Sine波的特徵，此相反相位(out of phase)就是負Sine波。其「頻譜」的「振幅」(amplitude)圖，也是在𝑭=
10 Hz，「振幅」是1。
因此可知，相同𝑭𝟎頻率的Sine波及Cosine波，本質上是相同的，只有𝝓=9𝟎°=𝝅/𝟐「相位角」(phase angle)的差異。而當𝝓=18𝟎°=𝝅「相位角」(phase angle)差異，就是正負相反的「時間波形」。
如果，就此三個Sine波，讓兩個Sine波相加，合成為一個信號，其「時間波形」和「頻譜」會有甚麼特徵呢？參閱圖片右邊的三個圖示，說明如下：
1. 𝑭1
= 10.0 Hz, 𝑨1 = 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2
= 10.0 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=𝟎°：也就是兩個Sine波的頻率、振幅、相位角，完全相同，合成的信號，相當於𝑭
= 10.0 Hz, 𝑨 = 2 , 𝝓=𝟎°的Sine波，就是直觀的相加效應。因此，其「頻譜」的「振幅」(amplitude)圖，也是在𝑭=
10 Hz，「振幅」是2。
2. 𝑭1
= 10.0 Hz, 𝑨1 = 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2
= 10.0 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=9𝟎°：也就是相同頻率的一個Sine波和一個Cosine波的相加，其合成的信號，仍是𝑭
= 10.0 Hz，但是
𝑨 = 1.414 , 𝝓=45°的簡諧波(harmonic wave)，所以，其「頻譜」的「振幅」(amplitude)圖，也是在𝑭= 10 Hz，「振幅」是1.414。
3. 𝑭1
= 10.0 Hz, 𝑨1 = 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2
= 10.0 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=18𝟎°：也就是相同頻率的一個Sine波和一個負Sine波的相加，由於兩個波相互抵消，其合成的信號，是0，也就是「時間波形」完全無信號。對應的「頻譜」也是0，所以，其「頻譜」的「振幅」(amplitude)圖，在𝑭= 10 Hz，「振幅」是-14次方的數值，這是源自數值分析的效應，本質上就是0。
由上可知，單一「頻率」(frequency)的簡諧波(harmonic wave)：如果「振幅」(amplitude)相同，只是「相位角」(phase angle)不同，其「頻譜」(spectrum)的「振幅」(amplitude)圖，都是在信號的「頻率」點，呈現單一峰值(peak)，而且「振幅」相同。
當兩個簡諧波(harmonic wave)合成的信號，如果，其「頻率」(frequency)相同、「振幅」(amplitude)相同，只是「相位角」(phase angle)不同，也就是有「相位差」(phase difference)：
1. 「相位差」𝝓=𝟎°：也就是無「相位差」，合成信號的「振幅」𝑨 = 2，就是相加的效應。
2. 「相位差」𝝓=9𝟎°：合成信號的「振幅」，會有部分抵消的效應，所以「振幅」𝑨
= 1.414。任意的「相位差」，會有不同程度的抵消效應，所以實際的「振幅」𝑨，會介於1~2之間。
3. 「相位差」𝝓=18𝟎°：因為是反向波(out of phase)效應，兩個信號完全抵消，所以，「振幅」𝑨
= 0。主動控制(active control)的概念，就是利用這種反向波(out
of phase)效應，達到降地振動或噪音的方法。
綜合這個單元的討論，兩個Sine波，有不同「相位角」(phase angle)，其合成信號的「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？總結如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 觀察一個Sine波信號，其數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝑭𝟎 𝒕+𝝓)。其中，𝑨是Sine波的「振幅」(amplitude)，𝑭𝟎是Sine波的「頻率」(frequency)，𝝓是Sine波的「相位角」(phase angle)。以及，一個Sine波，具有不同𝝓「相位角」的「時間波形」和「頻譜」特徵。
3. 探討兩個簡諧波(harmonic wave)，如果，其「頻率」(frequency)相同、「振幅」(amplitude)相同，只是「相位角」(phase angle)不同，也就是有「相位差」(phase difference)，其所合成的一個信號，其「時間波形」和「頻譜」會有不同的特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.12.30
