這個單元要來探討的主題是：甚麼是「黏彈性材料」(Viscoelastic material)？
為什麼會探討這個主題，這一系列都是在談「阻尼」(damping)，對於如橡膠的高分子材料，常會採用「黏彈性材料模型」(Viscoelastic material model)，探討其「阻尼」特性。
首先，介紹三種材料模型：
1.
「彈性材料」(Elastic Material)
2.
「純黏性材料」(Purely Viscous
Material)
3.
「黏彈性材料」(Viscoelastic Material)
參閱圖片右上方圖示，對於橡膠的高分子材料，常採用「動態力學分析」(dynamic mechanical
analysis, DMA)。對試體施予動態力 𝑭，同時量測試體的動態變形𝚫𝑳。如圖示的時間波形，施予的動態簡諧力是1 Hz。
上方的時間波形圖示，是量測得到應力時間波形：𝝈 = 𝑭/𝑨。其中，𝑭 是拉伸試體的外力， 𝑨 是試體的截面積。應變時間波形：𝜺 = 𝚫𝑳/𝑳。其中，𝑳 是試體的公稱長度。𝚫𝑳是拉伸過程的變形位移。𝜺 是單位長度的變形量，就是試體的應變(strain)，是無因次單位。
下方圖示，係將「應力」時間波形以及「應變」時間波形，以水平軸是𝜺，垂直軸是𝝈，繪圖得到的動態變化的應力應變曲線，三種材料模型的特徵，簡要說明如下：
1. 「彈性材料」(Elastic Material)：上方的時間波形圖示，藍色是應力𝝈=𝝈0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜹)，紅色是應變𝜺=𝜺0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。兩者之間，沒有相位差，𝜹=𝟎∘，都是純正弦波。𝜹稱為：「損耗角」(Loss Angle)，𝜹的定義：應力𝝈與應變𝜺之時間波形的相位差。因為，𝜹=𝟎，所以，下方圖示的應力應變曲線，呈現出一條直線，如同靜力的拉伸試驗。此直線的斜率，就是「彈性模數」(Elastic modulus)：𝑬=𝝈0/𝜺0。
2. 「純黏性材料」(Purely Viscous Material)：上方的時間波形圖示，藍色是應力𝝈，紅色是應變𝜺。兩者之間，剛好是𝜹= 𝝅/𝟐=90∘相位差。所以，下方圖示的應力應變曲線，呈現出一個橢圓曲線。注意：在真實世界，應該是沒有「純黏性材料」，這是數學模型的理論假設。
3. 「黏彈性材料」(Viscoelastic Material) ：上方的時間波形圖示，藍色是應力𝝈，紅色是應變𝜺。圖示範例，兩者之間，剛好是𝜹= 𝝅/𝟒=45∘相位差。所以，下方圖示的應力應變曲線，呈現出一個橢圓曲線，其長軸中心線，有45度角的特徵。在此，45∘相位差，是範例圖示。典型的「黏彈性材料」此相位角會介於0∘到90∘之間，也就是：𝟎 <
𝜹 <
𝝅/𝟐。
在此，針對進行DMA「動態力學分析」，所得到的參數整理如下：
1.
「應力」時間波形(stress time waveform)：𝝈=𝝈0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜹)。其中，𝝈= 𝑭/𝑨。𝑭 是拉伸試體的外力，𝑨 是試體的截面積，𝝈0是「應力振幅」(stress amplitude)。𝝎= 𝟐
𝝅𝒇，𝝎：圓周頻率，單位：rad/sec。𝒇：頻率，單位：Hz。𝜹：「損耗角」(Loss Angle)，𝜹的定義：應力𝝈與應變𝜺之時間波形的相位差。
2.
「應變」時間波形(strain time waveform)：𝜺=𝜺0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。其中，𝜺 =
𝚫𝑳/𝑳。𝚫𝑳是拉伸過程的變形位移，𝑳 是試體的公稱長度，𝜺0是「應變振幅」(strain amplitude)。
3. 「彈性模數」(Elastic modulus)：𝑬=𝝈0/𝜺0。
4. 「儲存模數」(Storage modulus)：𝑬’=
𝝈0/𝜺0 𝐜𝐨𝐬(𝜹)。
5. 「損耗模數」(Loss modulus)：𝑬’’=
𝝈0/𝜺0 𝐬𝐢𝐧 (𝜹)。
6. 「複數模數」(Complex modulus)：𝑬∗=
𝑬’+𝒊 𝑬’’=
𝝈0/𝜺0 𝒆^𝒊𝜹。𝑬∗的實數部，是𝑬’。𝑬∗的虛數部，是𝑬’’。
7. 「損耗角」(Loss Angle)：𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)。由𝑬∗的實數部𝑬’和虛數部𝑬’’，可得到𝜹「損耗角」。
8. 「損耗角正切」(Loss Tangent)：𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝑬’’/ 𝑬’=𝛈=2𝝃。其中，𝛈：「損耗因數」(Loss factor)，是「結構阻尼」(Structural damping)的阻尼參數。𝝃：「阻尼比」(Damping ratio)，是「黏滯阻尼」(Viscous damping)的阻尼參數。
以圖示的數值案例來看，所施予的「應力」時間波形，「應力振幅」𝝈0=1 MPa。DMA「動態力學分析」量測的「應變」時間波形，「應變振幅」𝜺0=0.6。三種材料模型的數值計算，簡要說明如下：
1. 「彈性材料」(Elastic Material)：𝑬’=1.667 MPa，𝑬’’=0。𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)=𝟎，𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝑬’’/ 𝑬’=
𝟎= 𝟎°。𝛈= 𝐭𝐚𝐧(𝜹) = 𝟎。𝝃=𝛈/𝟐=
𝟎。
2. 「純黏性材料」(Purely Viscous Material)：𝑬’=0，𝑬’’=1.667 MPa。𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)= 𝝅/𝟐=𝟗𝟎°，𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝑬’’/ 𝑬’=
∞。𝛈=
𝐭𝐚𝐧(𝜹) =
∞。
𝝃=𝛈/𝟐= ∞。
3. 「黏彈性材料」(Viscoelastic Material)：𝑬’=1.1785 MPa，𝑬’’=1.1785 MPa。𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)= 𝝅/𝟒=𝟒𝟓°，𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝑬’’/ 𝑬’=
1。𝛈= 𝐭𝐚𝐧(𝜹) = 1。
𝝃=𝛈/𝟐= 0.5。
綜合這個單元的討論，甚麼是「黏彈性材料」(Viscoelastic material)？介紹了三種材料模型：
1. 「彈性材料」(Elastic Material)。
2. 「純黏性材料」(Purely Viscous Material)。
3. 「黏彈性材料」(Viscoelastic Material)。
針對「黏彈性材料」(Viscoelastic material)，介紹了：
1.
「黏彈性材料」(Viscoelastic material)的試驗：「動態力學分析」(dynamic mechanical analysis, DMA)。
2.
量測得到：「應力」時間波形(stress time waveform)：𝝈=𝝈0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜹)。「應變」時間波形(strain time waveform)：𝜺=𝜺0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。𝜹：「損耗角」(Loss Angle)，𝜹的定義：應力𝝈與應變𝜺之時間波形的相位差。
3.
可得到：「複數模數」(Complex modulus)：𝑬∗=
𝑬’+𝒊 𝑬’’=
𝝈0/𝜺0 𝒆^𝒊𝜹。𝑬∗的實數部，是𝑬’ 「儲存模數」(Storage modulus)。𝑬∗的虛數部，是𝑬’’ 「損耗模數」(Loss modulus)。
4.
也可得到「阻尼」(damping)參數：「損耗角」(Loss Angle)：𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)。「損耗角正切」(Loss Tangent)：𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝑬’’/ 𝑬’=𝛈=2𝝃。界定了和
𝛈：「損耗因數」(Loss factor)，是「結構阻尼」(Structural damping)的阻尼參數。以及，𝝃：「阻尼比」(Damping ratio)，是「黏滯阻尼」(Viscous damping)的阻尼參數。三者之間的關係：𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝛈=2𝝃。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.12.23
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