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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(2):單自由度系統的頻率響應函數(FRF)有甚麼特徵?

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的2,要來探討的主題是:「單自由度系統」的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵?

 

首先,快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示中央的𝒇(𝒕)示意圖,可以從時間波形,分別界定出「簡諧外力振幅 𝑭,以及「激振頻率𝒇週期T的倒數。

 

當這個正弦波的簡諧外力」作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,參閱右上方的質塊響應𝒙(𝒕)示意圖,可以解剖出兩個效應:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)是自由振動響應,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)是外力激振響應。也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

進一步觀察質塊響應 𝒙(𝒕)穩態響應(steady state response)區間,也是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

讀者可參閱中央下方的穩態位移響應𝒙(𝒕)示意圖,和其上方的「簡諧外力𝒇(𝒕)的示意圖,可以觀察出兩者之間有「90°相位差(90° out-of-phase),因為,這個數值分析案例是「共振激振(resonant excitation)時,也就是「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏

 

由於,不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿 相位角𝝓如果,每次都進行簡諧外力」激振的時間域「暫態響應分析(transient response analysis),才能夠瞭解「穩態位移振幅𝑿 相位角𝝓,是相當繁瑣的工作。

 

因此,就定義了頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇)

 

1.      𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。

2.      𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

3.      𝑯(𝒇) =穩態位移振幅/外力振幅

 

可以快速知道𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)的關係,又,因為不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

針對本單元所討論的單自由度系統」,可以推導出SDOF FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],其中,𝝎=𝟐𝝅𝒇 (rad/s)。而且可以知道𝑯(𝒇)是個複數(complex number)

 

接下來,舉一個實際數值案例做探討,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),繪製FRF的數值案例。可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以是次阻尼狀態。

 

參閱右下方圖示,是對應此「單自由度系統」之 FRF,因為,𝑯(𝒇)是個複數(complex number),可以繪製4種圖示,各個圖示的水平軸是頻率,代表的是簡諧外力𝒇(𝒕)的「激振頻率𝒇垂直軸,分別是 𝑯(𝒇)振幅(amplitude)相位角(phase angle)實數部(real)虛數部(imaginary)。至於這4種圖示的FRF特徵,我們再另闢單元討論。

 

這個單元的重點是在探討:「單自由度系統」的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵?以及其潛在的意義。在此,探討的是「外力激振」的「單自由度系統」之FRF,統整如下:

 

1.      假設系統受到「簡諧外力激振(harmonic force excitation)令系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)

2.      分析得到的質塊位移響應」:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)是自由振動響應,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)是外力激振響應。也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。其中,有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),特別有興趣的是「位移振幅𝑿(𝒇) 相位角𝝓

3.      為了有效率的全盤了解穩態位移響應」的特性,所以,定義了「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

4.      針對「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],會和系統參數」:mck相關,也會隨著不同的「激振頻率𝒇,會有不同的𝑯(𝒇)。又,由於𝑯(𝒇) 是複數(complex number),可以繪製4種圖示,各個圖示的水平軸是頻率,代表的是簡諧外力𝒇(𝒕)的「激振頻率𝒇垂直軸,分別是 𝑯(𝒇)振幅(amplitude)相位角(phase angle)實數部(real)虛數部(imaginary)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.05.08