結構振動的「單自由度系統」(single
degree-of-freedom, SDOF, system)是振動課程的基礎入門單元之一，因為可以從「SDOF系統」，學習許多振動的現象。先前單元：【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」？】，除了「外力激振」(force excitation)形式外，還有「基座激振」(base excitation)形式，本單元要介紹的是「基座激振」的「單自由度系統」。
首先，如圖示「基座激振之質塊彈簧系統」實體結構，以一個「質塊」安置在「彈簧」的上方，而「彈簧」的另一端是「基座質點」。如果，對「基座質點」施予「位移」輸入，透過「彈簧」的傳遞，「質塊」就會上下來回振盪，可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
對此「基座激振之質塊彈簧系統」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)，說明如下：
1.
質塊(mass)：假設質塊為「剛體」(rigid body)，以一個質點「質量」m，代表質塊，SI制單位：kg。
2.
阻尼元件(damper)：為了模擬彈簧的「阻尼效應」，常採用的「阻尼模型」(damping model)是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，c，代表此彈簧的「阻尼效應」(damping effect)，SI制單位：N / m/s = N.s/m，是彈簧變形每單位速度的受力，也就是「彈簧阻尼力」fd=c*v，v是質塊的速度。
3.
彈簧(spring)：彈簧以其「彈簧常數」(spring constant)，k，代表此彈簧的剛性(stiffness)，SI制單位：N/m，是彈簧每單位長度變形的受力。
4.
位移輸入(displacement input)：以y(t)函數代表「基座質點」的「位移」輸入。
5.
位移輸出(displacement output)：以x(t)函數代表「質塊」的「位移」輸出。
所以，可以得到「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
得到了「數學模型」可以推導其「運動方程式」(equation
of motion, EOM)：ma+cv+kx=c*yd(t)+k*y(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表「質塊」的位移、速度、加速度。y(t)及yd(t)分別代表「基座質點」的「位移」輸入及其「速度」】。
由「基座激振之mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
1.
Input輸入：也就是施加於此「基座質點」的「位移」輸入y(t)，以及「質塊」本身的兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2.
System系統：也就是「系統參數」m、c、k。另外一個角度看系統，也就是「模態參數」(modal parameters)，包括：fn，「自然頻率」(natural frequency)；ξ，「阻尼比」(damping ratio)。
3.
Output輸出：此系統的「輸出」就是「質塊」的位移、速度、加速度，分別以x、v、a代表。
至此，我們瞭解了系統參數、輸入、及輸出，接下來觀察右邊圖示，是「次阻尼」(under-damped)狀態下，0<ξ<1，此「基座激振之質塊彈簧系統」的「基座質點」及「質塊」的位移軌跡圖。「基座質點」及「質塊」以「彈簧」連接，在「基座質點」有連續三個鋸齒波的「位移」輸入，進而帶動了上方「質塊」的「位移」振動現象。
首先，觀察「基座質點」的「位移」輸入y(t)，如圖示有連續三個鋸齒波，鋸齒波是個「週期性」信號，有「基礎頻率」，𝒇=1/T，而鋸齒波的最大振幅為𝒀。
再觀察「質塊」的「位移」振動時間域波形，隨著「基座質點」的鋸齒波之位移增加，「質塊」的位移有整體偏位、沿著鋸齒波的波形，有上下來回振動的現象，而其上下振動的振幅，則有逐漸衰減的現象。到了第三個鋸齒波結束之後，因為，沒有「基座質點」的位移輸入，「質塊」的位移就逐漸衰減到零。這是因為系統為「次阻尼」(under-damped)狀態下，0<ξ<1的緣故。
針對「質塊」的「位移」振動時間域波形，重要特徵討論如下：
1. 系統的「自然頻率」：如圖示，Tn=1/fn，其中，fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5，就是系統的「自然頻率」，由「系統參數」m、k，就決定了「自然頻率」fn。須注意系統的「自然頻率」和「基座質點」位移輸入的鋸齒波「激振頻率」是不相同的。
2. 系統的「阻尼比」：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。由於0<ξ<1是「次阻尼」(under-damped)狀態，所以位移振幅有衰減的現象。
3. 系統的「衰減率」：位移振動衰減的現象，係與exp(–ξ ωn t)相關，因為指數函數為負值，所以，質塊的運動會隨時間增長，而逐漸衰減到零。其中，ξ ωn可以定義為「衰減率」，代表質塊來回振盪衰減的速率。「阻尼比」ξ越大，「衰減率」越大；「無阻尼自然頻率」ωn越大，「衰減率」也越大。當「衰減率」ξωn越大，則質塊來回振盪的衰減速率就越快。【甚麼是「對數衰減」？】
好的，這個單元我們主要介紹的是：「基座激振」的「單自由度系統」。回顧一下本單元的重點：
1. 實體結構：也就是左上方圖示的「基座激振之質塊彈簧系統」。「質塊」和「基座質點」以一個「彈簧」連接，「基座質點」施予「位移」輸入，「質塊」就會上下來回振盪有「位移」輸出。
2. 數學模型化：對「實體結構」進行「數學模型化」，可以得到「數學模型」。
3. 數學模型：如圖示有「系統參數」就是：m、c、k，「輸入」是y(t)，「輸出」是x(t)。
4. 系統參數：就是：m、c、k，分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
5. 運動方程式：ma+cv+kx= c*yd(t)+k*y(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
6. ISO系統方塊圖：由Input輸入、System系統、Output輸出，可解讀此系統的ISO內涵與關係。
7. 模態參數：可以由「系統參數」m、c、k，分別求得，包括：fn，「自然頻率」(natural frequency)；ξ，「阻尼比」(damping ratio)，也是系統參數，稱之為「模態參數」。
8. 系統輸入響應：觀察了具有3個鋸齒坡的「基座質點」之「位移輸入」特徵，如「週期性」鋸齒波的「基礎頻率」，也是其「激振頻率」。
9. 系統輸出響應：觀察了「基座激振之質塊彈簧系統」典型的「質塊」位移軌跡圖之特徵。可由fn「自然頻率」、ξ「阻尼比」、及ξ ωn「衰減率」解讀其響應特性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.02.14文章粉絲團連結
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