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《振動噪音科普專欄》如何解讀響鈴板的振動模態?

這個單元是「響鈴板」系列的4,要來看的主題是:如何解讀「響鈴板」的「振動模態(modes of vibration)

 

首先,由破題來看,關鍵詞:如何解讀(How to interpret)?「響鈴板(bell plate)?「振動模態(modes of vibration)

 

甚麼是「響鈴板(bell plate)?可以參考圖示中央的照片,來自2003年的論文:Lavan, D., Hogg, S. and Wolfe, J., “Why do bell plate ring?,” Acoustics Australia, 31, No. 2–1, (2003)。圖示的「響鈴板」看起來是有握柄,當搖晃握柄,會帶動打擊槌敲擊在「響鈴板」上,進而發出「響鈴板」的敲擊聲音,該篇論文有呈現說明「響鈴板」為什麼會發出聲音的物理機制。

 

響鈴板」系列的整體目標,是要探討如何設計製作出整組的「響鈴板」打擊樂器,所以就要來看「響鈴板」的「振動模態」。

 

振動模態」包括3個重要的「模態參數(modal parameters)

 

1.          自然頻率(natural frequency)

2.          模態振型(mode shape)

3.          模態阻尼比(modal damping ratio)

 

每一個結構都有其「振動模態」,會有無窮多個「振動模態」,每一個「振動模態」都有3個「模態參數」,他們是成對的(in pair),也就是一對一的對應關係。對振動響應來說,比較重要的是自然頻率」比較小的前面數個模態。

 

如何得到如「響鈴板」結構的「振動模態」呢?可以透過FEA分析或EMA實驗方式,取得結構的「振動模態」或「模態參數」,也就是:FEA有限元素分析(finite element analysis)EMA實驗模態分析(experimental modal analysis)

 

FEA有限元素分析」,建構了如圖示右二的「響鈴板」之「有限元素分析模型」,以進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),要注意,在此所採用的是「實數模態分析(real mode analysis),所以,只可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」。

 

參閱圖示左側,顯示了FEA分析所得到「響鈴板」結構的「自然頻率」和「模態振型」,簡要說明如下:

 

1.      自然頻率」由小到大,依次排序,從F07F08F15,在5000 Hz以下,共有9振動模態」。

2.      每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。

3.      F01F02F06,前6振動模態」,因為「響鈴板」是在「自由邊界(free boundary),所以,有6個「剛體模態(rigid body modes),其「自然頻率」都為0。此「剛體模態」與「響鈴板」的打擊聲音無關,沒有呈現這些「剛體模態」。

4.      F07F08F15,甚至更高「自然頻率」的振動模態」,「響鈴板」結構有撓性變形,所以稱為「撓性體模態(flexible body modes),也可稱為「彈性體模態(elastic body modes)。這些「彈性體模態」會和「響鈴板」的打擊聲音相關。

 

另外,也可以透過實驗的方式,也就是EMA,對「響鈴板」實體結構進行量測分析,可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」,更重要的是,可以得到每個「振動模態」的模態阻尼比」。

 

參閱圖示右側,顯示了EMA分析所得到「響鈴板」結構的「自然頻率」和「模態振型」,以及模態阻尼比」總表,簡要說明如下:

 

1.      自然頻率」由小到大,依次排序,從E01E02E09,在5000 Hz以下,共有9振動模態」。

2.      每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。可以觀察EMAFEA的「模態振型」有相互對應。

 

這個單元的重點,是要解讀「響鈴板」結構的「振動模態」,3個重要的「模態參數」說明如下:

 

1.          自然頻率(natural frequency)由小到大,依次排序,從F07F08F15,在5000 Hz以下,共有9振動模態」。

2.          模態振型(mode shape):每個「振動模態」都有其「自然頻率」和對應的「模態振型」。而每個「模態振型」都有不同的變形狀態,這就是本單元後續要討論的重點。

3.          模態阻尼比(modal damping ratio):每個「振動模態」都有其對應的模態阻尼比」,「阻尼比」的概念呢?當「阻尼比」越大,結構的振動響應,就衰減的越快;反之,「阻尼比」越小,結構的振動響應,就衰減的越慢。必須以實驗方式,如EMA,才可求得結構的「模態阻尼比」。

 

接下來,就深入探討「響鈴板」結構的「模態振型」之物理意義,由於「響鈴板」是近似五角形的本壘板形狀,在此借用解讀「矩形平板」結構「模態振型」的方式,以座標軸(x,y)方向來解釋說明:

 

1.      節線(nodal line):每個「模態振型」的變形,觀看動畫或圖片,可以辨識出有不動的位置,此不動點可以連成線,如圖示標註的黃色線段,稱之為「節線」。

2.      敲擊點(striking location):對此「響鈴板」預定敲擊的位置,如圖示是在左右兩側對稱的中心線上,而上下位置大約在1/4處。

3.      模態振型」的物理意義(x,y):當(x,y)= (3,1),在x方向,分成3等份,在y方向為1等份。當(x,y)= (1,3),在x方向,為1等份,在y方向為3等份。餘此類推,可解讀如:(x,y)= (2,2)(x,y)= (2,3)等之「模態振型」。讀者可以由影片動畫或圖片解讀出各個「模態振型」的變形狀態。

4.      會發聲的「振動模態」:由於「敲擊點」在左右兩側對稱的中心線上,所以x= 2的「振動模態」,其「模態振型」在「敲擊點」位置,剛好是在「節線」上,所以敲擊時,不會激發出x= 2的「振動模態」。反過來說,當「敲擊點」位置,在「振動模態」的「模態振型」之最大響應位置,可稱為「反節點(anti-node),就會激發出該「振動模態」的「自然頻率」。參閱圖示,可以看出(x,y)= (3,1)(x,y)= (1,4)(x,y)= (3,4)(x,y)= (5,4)等藍色框線的「模態振型」,「敲擊點」位置都不是這些「模態振型」的「節點(nodal point),所以能夠有效激發其「自然頻率」,也就是「發聲頻率」。

 

綜合一下這個單元的討論,主要重點是要解讀「響鈴板」結構的「振動模態」,總結如下:

 

1.      響鈴板」結構的「振動模態」:包括3個重要的「模態參數」:自然頻率(natural frequency)、「模態振型(mode shape)及「模態阻尼比(modal damping ratio)

2.      求得「響鈴板」結構「振動模態」的方法:包括,(1) FEA有限元素分析(finite element analysis),或(2) EMA實驗模態分析(experimental modal analysis)。在此,FEA的「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),採用的是「實數模態分析(real mode analysis),所以,只可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」。而,EMA除了可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」,更重要的是,可以得到每個「振動模態」的模態阻尼比」。

3.      節線(nodal line):透過解讀「矩形平板」結構「模態振型」的方式,以座標軸(x,y)來解讀「模態振型」的物理意義。例如:(x,y)= (3,1)(x,y)= (1,4)(x,y)= (3,4)(x,y)= (5,4)等。

4.      敲擊點(striking location):對此「響鈴板」預定敲擊的位置,如圖示是在左右兩側對稱的中心線上,而上下位置大約在1/4處。當「敲擊點」位置,剛好是在「模態振型」的「節線」上,也就是「節點」,就不會激發出該「振動模態」的「自然頻率」。

5.      會發聲的「振動模態」:當「敲擊點」是在「模態振型」的非「節點」位置,就會激發出該「振動模態」的「自然頻率」,就是所聽到的「發聲頻率」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.12.07

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