這個單元要來探討的主題是：轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？
在前一個單元，探討了轉子系統(rotor system)，受到「不平衡質量」(unbalance mass)效應，所造成振動大的現象、原因、與對策，相關基本概念。這個單元來看：轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？
就破題，從關鍵詞(keywords)，逐次來討論。首先，轉子系統(rotor system)，參閱圖片右邊上方顯示，一個典型的轉子系統(rotor system)，包含：馬達(Motor)、聯軸器(Coupling)、轉軸(Shaft)、以及兩個軸承(Bearing)。
解剖一個系統，可以參閱圖片左下方的三個「系統方塊圖」(system block diagram)，就快速回顧一下，說明如下：
1. EOM時間域「系統方塊圖」(time domain
system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、系統矩陣：[𝑴],[𝑪],[𝑲]、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。
2. Mode模態域「系統方塊圖」(modal domain system
block diagram)：第 𝒋 點的外力 𝒇𝒋 (𝒕)、模態參數(modal parameters)、第 𝒊 點的系統位移響應 𝒙𝒊 (𝒕)。模態參數包括：𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)、𝝓𝒓=模態振型(mode shape)、𝝃𝒓=模態阻尼比(modal damping ratio)。
3. FRF頻率域「系統方塊圖」(frequency domain
system block diagram)：外力頻譜 𝑭𝒋 (𝒇)、頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、系統位移響應頻譜 𝑿𝒊 (𝒇)。
其次的關鍵詞(keywords)，「不平衡質量」(unbalance mass)。參閱圖片中的「不平衡質量」(unbalance mass)效應之示意圖，取轉軸(Shaft)的一個截面來看。其中，𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。
如果，轉軸(Shaft)的轉速，𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per
minute, RPM)。則，𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎，單位：Hz
= cycle/sec。可得：𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)，單位：rad/sec。
如圖示的「不平衡質量」(unbalance mass)效應大小，即𝒎𝑹。旋轉時，會形成一個簡諧力(harmonic force)，就是sine波的外力，就是不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，作用在轉軸上的某一
𝒋點，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。
在這樣的不平衡質量等效外力(unbalance mass force)作用下，系統的響應，也會是接近sine波，表示如下：𝒙𝒊 (𝒕)=𝑿𝒊 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。實際上的𝒙𝒊 (𝒕)時間波形，不會是理想的Pure sine wave純正弦波的響應。
實務上，參閱中間下方圖示的𝒙𝒊 (𝒕)時間波形，為Distorted sine wave扭曲正弦波，接近sine波，但不是sine波。因此，其對應的 𝑿𝒊 (𝒇) 頻譜(spectrum)，呈現的是「簡諧倍頻」(harmonics)、或簡稱「諧頻」。也就是頻譜有許多個峰值(peaks)，出現在nX是1X
=𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的n倍頻率點位置。而且，1X的振幅，是相對較大的。
如果已知、確認，轉子系統(rotor system)的振動大，是來自「不平衡質量」(unbalance mass)效應，對策：就是對此轉子系統(rotor system)進行平衡校準(balancing)。平衡校準(balancing)的概念：
(1) 找到「不平衡質量」(unbalance mass)
效應的大小，即𝒎𝑹，就是𝒎「不平衡質量」和其𝑹「旋轉半徑」。以及所在角度位置。
(2) 選用和「不平衡質量」(unbalance mass)
效應相同大小的「平衡配重塊」(counter weight)的𝒎𝑹。
(3) 安裝「平衡配重塊」(counter weight)，在「不平衡質量」(unbalance mass)
效應之旋轉軸的反向、對角180度的角度位置。
接下來的關鍵詞(keywords)，「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？概分為三種類型(types)：
1. 靜力不平衡/靜不平衡(static unbalance)。
2. 耦合不平衡/力偶不平衡(couple unbalance)。
3. 動態不平衡/動不平衡(dynamic unbalance)。
參閱圖片右邊第1個轉軸圖示，就是(1) 靜力不平衡(static unbalance)。一個紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)坐落在轉軸(Shaft)的中間位置。若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，是相同的，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為靜力不平衡(static unbalance)，轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。
(1) 靜力不平衡(static unbalance)的重點說明如下：
1. 頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。
2. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。
3. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於0度。因為，靜力不平衡(static unbalance)的旋轉，接近類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。
參閱圖片右邊第2個轉軸圖示，就是(2) 耦合不平衡(couple unbalance)。有兩個大小相同的、紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)，分別坐落在轉軸(Shaft)的兩端，在轉軸(Shaft)的截面，剛好180度反向。
若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，會是大小相同、而方向相反，形成力偶(couple)，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為力偶不平衡(couple unbalance)、或耦合不平衡(couple unbalance)。轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的兩個相同大小圓錐體(cone)的旋轉狀態，左端上、右端下，或是左端下、右端上，持續旋轉的變動狀態。
(2) 耦合不平衡(couple unbalance)的重點說明如下：
1. 頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。
2. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。
3. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於180度。因為，耦合不平衡(couple unbalance)的旋轉，接近類似圖示的圓柱體(cylinder)的旋轉狀態。
4. 頻譜(spectrum)的軸向(Axial) 1X振幅也會大：在軸向(Axial)，1X振幅會大的原因，就是來自兩個相同大小圓錐體(cone)的旋轉狀態。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。
參閱圖片右邊第3個轉軸圖示，就是(3) 動態不平衡(dynamic unbalance)。實務上，大都是屬於這種型態的「不平衡質量」(unbalance mass)，也就是前兩種(1) 靜力不平衡和(2) 耦合不平衡的組合狀態。舉例來說，有兩個大小不同的、紅色的「不平衡質量」(unbalance mass)，分別坐落在轉軸(Shaft)的兩端，左端的小、右端的大，而且在轉軸(Shaft)的截面，剛好180度反向。
若是從兩端軸承(Bearing)的反作用力來看，會是大小不相同、而方向相反，故稱此「不平衡質量」(unbalance mass)狀態，為動態不平衡(dynamic unbalance)。轉軸(Shaft)旋轉起來，會形成類似圖示的一小、一大兩個圓錐體(cone)的旋轉狀態，左端上、右端下，或是左端下、右端上，持續旋轉的變動狀態。
(3) 動態不平衡(dynamic unbalance)的重點說明如下：
1. 頻譜(spectrum)的徑向(Radial) 1X振幅會大：包括：垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。
2. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)截面的垂直(Vertical)和水平(Horizontal)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會接近於90度。因為，旋轉的狀態，接近於正弦波效應。
3. 相位角度(phase angle)：在轉軸(Shaft)長度方向、兩端軸承(Bearing)的垂直(Vertical)方向，兩者振動響應的相位(phase)差，會介於0~180度之間，端視兩端不同大小不平衡質量的狀態。因為，是前兩種(1) 靜力不平衡和(2) 耦合不平衡的組合狀態。
4. 頻譜(spectrum)的軸向(Axial) 1X振幅也會大：在軸向(Axial)，1X振幅會大的原因，就是來自兩個大小圓錐體(cone)的旋轉狀態。雖然頻譜(spectrum)會是「簡諧倍頻」(harmonics)，但是，2X、3X的振幅會相對小。
綜合這個單元的討論，轉子系統(rotor system)的「不平衡質量」(unbalance mass)有哪些類型(types)？總結如下：
1. 以一個典型的轉子系統(rotor system)，說明3個重要的「系統方塊圖」，包括：(1)
EOM時間域，(2) Mode模態域，(3) FRF頻率域。
2. 回顧說明「不平衡質量」(unbalance mass)效應：所引發的不平衡質量等效外力(unbalance mass force)，表示如下：𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋
𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=外力大小，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的旋轉半徑。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per
minute, RPM)。𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)。所以，1X=𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」的振幅，是相對較大的。而且，會隨著轉速增加，振動會增大。
3. 介紹了轉子系統(rotor system)「不平衡質量」(unbalance mass)的三種類型(types)：(1)
靜力不平衡(static unbalance)。(2)
耦合不平衡(couple unbalance)。(3)
動態不平衡(dynamic unbalance)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2026.06.10
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