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《振動噪音科普專欄》如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)

這個單元要來探討的主題是:如何建構「離散系統(discrete system)的「數學模型(mathematical model)- 以「車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)為例。

 

首先回顧一下,先前單元:#314車輛動力學(Vehicle Dynamic):如何定義車體的自由度(DOF)】,參閱圖示左下方示意圖,是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號,就是:𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍,分別是3個方向位移/平移自由度(displacement DOF),以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)

 

𝒙 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 側向位移(lateral displacement)

𝒛 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 翻滾角度(roll angle)

𝜽 前傾角度(pitch angle)

𝝍 旋轉角度(yaw angle)

 

瞭解車體的DOF定義,假設想要對圖示的汽車「實際結構(real structure)進行振動分析,那麼需要建構「數學模型(mathematical model),稱為「數學建模(mathematical modeling)。也就是將「實際結構(real structure)做適當的假設,以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

參閱圖片中間下方,本單元以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢,一部汽車會有4個輪子,此模型假設汽車的左右、前後對稱,所以只取了一個輪子,因此稱為【¼車體模型(quarter car model)

 

有了這個基本構想,接著就針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

1個步驟:定義系統之質塊元件:就是Mass element。分別定義:𝒎𝟏=輪胎與輪軸質量,𝒎𝟐=底盤質量,𝒎𝟑=駕駛員質量。為什麼呢?參閱圖示變數符號,說明如下:彈簧常數由下而上,分別是:𝒌𝒕𝒌𝒔𝒌𝒅。其中,𝒕=tire 輪胎,𝒔=suspension 懸吊系統,𝒅=driver seat駕駛座。所以,輪胎和懸吊系統之間,就是𝒎𝟏=輪胎與輪軸質量。懸吊系統和駕駛座之間,就是𝒎𝟐=底盤質量。駕駛座位上方,當然就是𝒎𝟑=駕駛員質量。

 

2個步驟:定義系統之連接元件:就是Connection elementsK & C。如前述,三個集中質量塊之間都有彈簧常數K和黏滯阻尼係數 C。分別是:𝒌𝒕𝒌𝒔𝒌𝒅 以及。𝒄𝒕𝒄𝒔𝒄𝒅。對應的分別是:𝒕=tire 輪胎,𝒔=suspension 懸吊系統,𝒅=driver seat駕駛座。

 

3個步驟:定義系統之自由度:就是Degree-of-Freedom (DOF)。每一個質塊元件,都需要依照和連接元件狀態,定義DOF。在此案例,每個質塊都是垂直方向的DOF,所以分別是:𝒙𝟏(𝒕) 輪軸垂直位移、𝒙𝟐(𝒕) 底盤垂直位移、𝒙𝟑(𝒕) 駕駛座垂直位移。因此,這是一個3DOF三個自由度系統。

 

4個步驟:定義系統之邊界條件:就是Boundary。如圖示的汽車行駛在不平整的不規則路面上(irregular road surface),這個路面的波動狀態,就是此系統的邊界。其實,也會是此系統的輸入。

 

5個步驟:定義系統之輸入條件:就是InputLoading。在此須注意,Input不一定都是外力,也可以是如本案例的Input是位移,是來自不規則路面的起伏位移𝒚(𝒕),所以是位移輸入(displacement input)。也因此,稱此「數學模型」是3DOF三個自由度「基座激振模型(base excitation model)

 

6個步驟:定義系統之初始條件:就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義所有「自由度𝒙(𝒕) I.C.,包括:初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎

 

7個步驟:定義有興趣之系統輸出參數:就是Interested Output Variables。可以探討的議題不少,摘述如下,會再另闢單元討論。

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters):自然頻率𝒇𝒓,模態振型𝝓𝒓,阻尼比𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function):在此會有興趣的是,位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓 (𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應:探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應:探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

綜合一下這個單元的討論,主要以「車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)為例,由一部汽車的「實際結構(real structure),進行「數學建模(mathematical modeling),以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)。重點摘要如下:

 

1.      回顧「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號,就是:𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍,分別是3個方向位移/平移自由度(displacement DOF),以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)

2.      說明建構「數學模型」的流程步驟:實際結構 進行數學建模 得到數學模型」。主要看的是【¼車體行駛動態分析模型】。

3.      針對【¼車體行駛動態分析模型】的「數學建模」,有7個步驟,做了詳細說明。

4.      ¼車體行駛動態分析模型】實際上是一個3DOF三個自由度系統,而且是「基座激振模型(base excitation model)

 

應用這個【¼車體行駛動態分析模型】,可以解析得到的分析結果,包括:

 

1.          模態分析」(modal analysis):系統模態參數

2.          簡諧響應分析」(harmonic response analysis):系統頻率響應函數

3.          暫態響應分析」(transient response analysis):系統的時間域響應

4.          頻譜響應分析」(spectrum response analysis):系統的頻率域響應

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.04.08